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P.182习题
验证下列等式
（1）?f?(x)dx?f(x)?C （2）?df(x)?f(x)?C
证明 （1）因为f(x)是f?(x)的一个原函数，所以?f?(x)dx?f(x)?C.
（2）因为?du?u?C,所以?df(x)?f(x)?C.
求一曲线y?f(x),使得在曲线上每一点(x,y)处的切线斜率为2x,且通过点
(2,5).
解 由导数的几何意义,知f?(x)?2x,所以f(x)??f?(x)dx??2xdx?x2?C.
于是知曲线为y?x2?C,再由条件“曲线通过点(2,5)”知，当x?2时，y?5,所以
有5?22?C,解得C?1,从而所求曲线为y?x2?1
验证y?
x2sgnx是|x|在(??,??)上的一个原函数.
2
证明 当x?0时, y?
x2, y??x;当x?0时, y??x2, y???x;当x?0时, y
2 2
(x22)sgnx
(x22)sgnx?0
?
的导数为lim
?limxsgnx
?0,所以y???0
x?0?|x|
?x?0 x
?
x?0
2 ??x
x?0
据理说明为什么每一个含有第一类间断点的函数都没有原函数？
解 由P.122推论3的证明过程可知：在区间I上的导函数f?，它在I上的每一点，
要么是连续点，要么是第二类间断点，也就是说导函数不可能出现第一类间断点。因此每一个含有第一类间断点的函数都没有原函数。
求下列不定积分
⑴?(1?x?x3?
1 )dx??1dx??xdx??x3dx??
x?2dx
?x?
x2?
x4 1
??3x3 C
?
?
33x2 2 4
3
1x⑵?(x? )2dx??(x
1
x
1
?2x2
?1)dx?
x3?4x3
ln|x|?C
2x 3 3
2
2gx⑶?
2gx
? 1 ?
x?1dx?
1
2g12x2
2g
1
C? ?C
2g2xg2⑷?
2g
2x
g
2
?3x)2dx??(22x
?2(2?3)x
?32x)dx??(4x
?2?6x
9x)dx
? 4x ?
2?6x?
9x ?C
ln4 ln6 ln9
4?4x
4?4x2
dx?3?
2
1 dx?
3arcsinx?C2
1?x2?⑹ x2
1?x2
?
x2?1?1
dx?
1?(1?
1 )dx?
(1?arctanx)?C
3(1?x2)
3(1?x2) 3
1?x2 3
⑺?tan2
xdx??(sec2
x?1)dx?tanx?x?C
⑻?sin2xdx??
1?cos2xdx?1?(1?cos2x)dx?1(x?1sin2x)?C2 2 2 2
?cos2x
?
⑼
dx??cos2x?sin2xdx??(cosx?sinx)dx?sinx?cosx?C
cosx?sinx cosx?sinx
⑽
? cos2x
dx?
?cos2x?sin2xdx?
?( 1 ? 1 )dx??cotx?tanx?C
cos2x?sin2x
cos2x?sin2x
sin2x cos2x
⑾?10t
32tdt??(10?9)tdt?
(10?9)t ?C? 90t ?C
ln(10?9) ln90
⑿? x x xdx??
7
1?x
1?x2
15
8? x8?C
8
1?x
1?x
1?x
1?x
1?x2
1?x2
1?x1?
1?x
1?x
? )dx??(
1?x
? )dx??
dx?2arc
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