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2023-2024学年广东省广州市高三上学期第一次学情检测数学
模拟试题
一、单项选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑.
1.设集合,,则的元素个数是(????)
A.1 B.2 C.3 D.4
2.若复数(i是虚数单位),则(????)
A. B.1 C. D.
3.已知向量,,,若是以为直角顶点的等腰直角三角形,则的面积为(????).
A.1 B.2 C. D.
4.在三角形ABC中,已知三边之比,则的值等于(????)
A.1 B.2 C. D.
5.数列的通项公式为,若数列单调递增,则的取值范围为
A. B. C. D.
6.某工厂产生的废气经过滤后排放,过滤过程中废气的污染物含量P(单位:)与时间t(单位:h)间的关系为,其中,k是正的常数.如果在前5h消除了的污染物,则15h后还剩污染物的百分数为(????)
A. B. C. D.
7.设椭圆的左、右焦点分别为、,是椭圆上一点,,,则椭圆离心率的取值范围为(????)
A. B.
C. D.
8.已知正三棱台的上,下底面边长分别为2和6,侧棱长为4,以下底面顶点为球心,为半径的球面与侧面的交线长为(????)
A. B. C. D.
二、多项选择题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得2分.请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑.
9.下列说法正确的是(????)
A.数据的第45百分位数是4
B.若数据的标准差为,则数据的标准差为
C.随机变量服从正态分布,若,则
D.随机变量服从二项分布,若方差,则
10.海水受日月的引力,在一定的时候发生涨落的现象叫潮.一般地,早潮叫潮,晚潮叫汐.在通常情况下,船在涨潮时驶进航道,靠近码头;卸货后,在落潮时返回海洋.已知某港口水深(单位:)与时间(单位:)从时的关系可近似地用函数来表示,函数的图象如图所示,则()
A.
B.函数的图象关于点对称
C.当时,水深度达到
D.已知函数的定义域为,有个零点,则
11.已知棱长为1的正方体的棱切球(与正方体的各条棱都相切)为球,点为球面上的动点,则下列说法正确的是(????)
A.球的表面积为
B.球在正方体外部的体积大于
C.球内接圆柱的侧面积的最大值为
D.若点在正方体外部(含正方体表面)运动,则
12.已知函数,.(????)
A.若曲线在点处的切线方程为,且过点,则,
B.当且时,函数在上单调递增
C.当时,若函数有三个零点,则
D.当时,若存在唯一的整数,使得,则
三、填空题(本大题共4小题,共20.0分)
13.已知的二项展开式中系数最大的项为.
14.设数列满足,,,令,则数列的前100项和为.
15.抛物线有一条重要性质:从焦点出发的光线,经过抛物线上一点反射后,反射光线平行于抛物线的对称轴.已知点F为抛物线C:()的焦点,从点F出发的光线经抛物线上一点反射后,反射光线经过点,若入射光线和反射光线所在直线都与圆E:相切,则p的值是.
16.若实数t是方程的根,则的值为.
四、解答题:本大题共6小题,第17题10分,18、19、20、21、22题各12分,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤、必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区域内,超出指定区域的答案无效,
17.(本题10分)在中,角,,所对应的边分别为,,,且.
(1)求的大小;
(2)若的面积为,求的值.
18.(本题12分)如图,在多面体中,四边形为正方形,平面.
??
(1)求证:
(2)在线段上是否存在点,使得直线与所成角的余弦值为?若存在,求出点到平面的距离,若不存在,请说明理由.
19.(本题12分)已知数列的各项均大于1,其前项和为,数列满足,,,数列满足,且,.
(1)证明:数列是等差数列;
(2)求的前项和.
20.(本题12分)某科目进行考试时,从计算机题库中随机生成一份难度相当的试卷.规定每位同学有三次考试机会,一旦某次考试通过,该科目成绩合格,无需再次参加考试,否则就继续参加考试,直到用完三次机会.现从2022年和2023年这两年的第一次、第二次、第三次参加考试的考生中,分别随机抽取100位考生,获得数据如下表:
2022年
2023年
通过
未通过
通过
未通过
第一次
60人
40人
50人
50人
第二次
70人
30人
60人
40人
第三次
80人
20人
人
人
假设每次考试是否通过相互独立.
(1)从2022年和2023年第一次参加考试的考生中各随机抽取一位考生,估计这两位考生都通过考
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