数列知识点和常用解题方法归纳.docx

数列知识点和常用地解题方法归纳一、等差数列地定义与性质

定义：a ?a ?d(d为常数)，a ?a ??n?1?d

n?1 n n 1

等差中项：x，A，y成等差数列?2A?x?y

?a ?a ?n n?n?1?

前n项和S

n

???1 n ?na ? d2 1 2

性质：?a?是等差数列

n

若m?n?p?q，则a ?a ?a ?a；

m n p q

数列?a ?，?a ?，?ka ?b?仍为等差数列；

2n?1 2n n

S，S ?S，S ?S ……仍为等差数列；

n 2n n 3n 2n

若三个数成等差数列，可设为a?d，a，a?d；

若a

，b是等差数列S，T

n n n n

a

为前n项和，则m

b

m

?2m?1；

ST

S

2m?1

?a?为等差数列?S ?an2?bn（a，b为常数，是关于n的常数项为

n n

0地二次函数）

S的最值可求二次函数S ?an2?bn的最值；或者求出?a?中的正、负分界

n n n

项,即：

?当a ?0，d?0，解不等式组?an

?

1 ?a

?0

?0可得Sn

达到最大值时的n值。

n?1

?当a ?0，d?0，由?an?0 可得S

?

达到最小值时的n值。

?1 a ?0 n

?

n?1

如：等差数列?a

?，S

n n

?18，a

n

a

n?1

a

n?2

?3，S

3

?1，则n?

（由a ?a ?a ?3?3a ?3，∴a ?1

n n?1 n?2 n?1 n?1

?a ?a??1

又S ???1 3

3?3a

?1，∴a ?

3 2 2

2 3

?1?1?n

?a ?a

?n ?a ?a

?·n

??3 ??

∴S ???1 n ???2 n?1 ? ?18 ?n?27）

n 2 2 2

1/9

二、等比数列地定义与性质

a

定义：

n?1?q（q为常数，q?0），aa n

n

?aqn?1

1

xy等比中项：x、G、y成等比数列?G2?xy，或G??

xy

???na (q?1)

?

?

前n项和：S

??a ?

1

?1 qn

?

（要注意!）

n ?1 (q?1)

? 1?q

性质：?a?是等比数列

n

（1）若m?n?p?q，则a ·a ?a·a

m n p q

（2）S，S ?S，S ?S ……仍为等比数列

n 2n n 3n 2n

三、求数列通项公式地常用方法

1、公式法

2、由S求a；（n?1时，a ?S，n?2时，a ?S ?S ）

n n 1 1 n n n?1

3、求差（商）法

如：?a

?满足1a ? 1a

n 2 1 22 2

?……? 1a

2n n

?2n?5

?1?

解：n?1时，1a

2 1

?2?1?5，∴a

1

?14

n?2时，1a ?

2 1

1a

22 2

1

?……?

1

2n?1

a

n?1

?2n?1?5

?2?

?14 (n?1)

?1???2?得：

a ?2,∴a ?2n?1 ,∴a ??

［练习］

2n n n n

?2n?1

(n?2)

数列?a

?满足S

n n

S

n?1

?5a3

，a

n?1

?4，求a

1 n

S

（注意到a

n?1

?S

n?1

?S代入得：n?1?4

n S

n

又S ?4，∴?S?是等比数列，S ?4n

1 n n

n?2时，a ?S ?S ?……?3·4n?1

n n n?1

4、叠乘法

例如：数列?a

?中，a

n 1

?3， n?1

aa

a

n

? nn?1

，求a

n

2/9

a a a

a a a

2·3…… n ?

1

·

2

……

n?1

，∴an?

1

a

a

a

2

3

n

a

n

1 2 n?1 1

又a ?3，∴a ?3

1 n n

5、等差型递推公式

由a ?a ?f(n)，a ?a，求a，用迭加法

n n?1 1 0 n

n?2时，a ?a ?f(2)?

a ?a ?f(3)?

?2 1

?

3 2 ?两边相加，得：

…… ……?

a ?a

n

n?1

?f(n)??

a ?a