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通项公式和前n项和
一、新课讲授:
求数列前N项和的方法
公式法
等差数列前n项和:
S ?n(a1?an)
n 2
?na1
?n(n?1)d
2
k特别的,当前n项的个数为奇数时,S2k?1?(2k?1)a
k
?1,即前n项和为中间项乘以项数。这个公
式在很多时候可以简化运算。
等比数列前n项和:
q=1时,Sn
q?1,S ?
n
?na1
? ?a11?
? ?
?,特别要注意对公比的讨论。
?
1 q
其他公式较常见公式:
1、S
n
??n
1k? n(n?1) 2、S
1
2 n
??n
k2?
1n(n?1)(2n?1)
1
6
k?1 k?1
3、S
n
??nk3
k?1
?[ n(n?1)]2
12
1
?1
[例1]已知log x?
3
log3
2
,求x?x2?x3?????xn
???的前n项和.
[例2]设S
=1+2+3+…+n,n∈N*,求f(n)?
S
n 的最大值.
n (n?32)S
n?1
1/15
错位相减法
这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法,这种方法主要用于求数列{a· b}
n n
的前n项和,其中{a}、{b}分别是等差数列和等比数列.
n n
[例3]求和:S ?1?3x?5x2?7x3?????(2n?1)xn?1 ①
n
[例4]求数列2,
4,6
,???,2n,???前n项的和.
2 22 23 2n
练习:
求:S=1+5x+9x2+ +(4n-3)xn-1
n
答案:
当x=1时,S=1+5+9+ +(4n-3)=2n2-n
n
当x≠1时,S
= 1
[4x(1-xn)
+1-(4n-3)xn ]
倒序相加法求和
n 1-x
1-x
这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法,就是将一个数列倒过来排列(反序),再把它
与原数列相加,就可以得到n个(a
1
?a).
n
[例5]求sin21??sin22??sin23??????sin288??sin289?的值
2/15
分组法求和
有一类数列,既不是等差数列,也不是等比数列,若将这类数列适当拆开,可分为几个等差、等比或常见的数列,然后分别求和,再将其合并即可.
[例6]求数列的前n项和:1?1,1
?4,1
?7,???, 1
?3n?2,…
a a2
an?1
n1 1 1 1
n
练习:求数列12,2
,3 ,???,(n?
4 8
2),???的前n项和。
裂项法求和
这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用.裂项法的实质是将数列中的每项(通项)分解,然后重新组合,使之能消去一些项,最终达到求和的目的.通项分解(裂项)如:
sin1?
(1)a
n
?f(n?1)?f(n) (2) ?tan(n?1)??tann?
cosn?cos(n?1)?
(3)a ? 1
?1? 1
(4)a ?
(2n)2
?1?1( 1
? 1 )
n n(n?1) n n?1 n (2n?1)(2n?1) 2 2n?1 2n?1
(5)a ??1
?1[ 1 ? 1 ]
n n(n?1)(n?2) 2 n(n?1) (n?1)(n?2)
(6) a
? n?2
1 ?
2(n?1)?n?1 ? 1 ?
1 ,则S ?1? 1
2? 3n? n?
2? 3
n? n?1
n(n?1) 2n
n?2n?1 (n?1)2n n
(n?1)2n
1? 2[
1? 2
1 , 1
,???, 1
,???的前n项和.
3/15
[例10] 在数列{a}中,a ? 1 ?
2 ?????
n
,又b ?
2
,求数列{b}的前n项的和.
n n n?1 n?1 n?1
n a ?a
n
n
n?1
[例11] 求证:
1
cos0?cos1?
? 1
cos1?cos2?
?????
1
cos88?cos89?
?cos1?sin21?
解:设S? 1 ? 1 ??????1
si
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