新教材2023版高中数学第2章平面解析几何初步2.5圆的方程2.5.1圆的标准方程学生用书湘教版选择性必修第一册.doc

2．5.1圆的标准方程

最新课程标准

(1)从具体情境中抽象出圆，掌握圆的定义．

(2)会求圆的标准方程．

(3)能判断点与圆的位置关系．

新知初探·课前预习——突出基础性

教材要点

要点一圆的标准方程

1．圆的定义：平面内到________的距离等于________的点的集合叫作圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径．

2．确定圆的要素是________和________，如图所示．

3．圆的标准方程：圆心为C(a，b)，半径长为r的圆的标准方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2?.

特别地，圆心在原点(0，0)，半径为r的圆的方程为________________．

要点二点与圆的位置关系

圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，圆心A(a，b)，半径为r.设所给点为M(x0，y0)，则

位置关系

判断方法

几何法

代数法

点在圆上

|MA|＝r?点M在圆A上

点M(x0，y0)在圆上?(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2

点在圆内

|MA|＜r?点M在圆A内

点M(x0，y0)在圆内?(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2

点在圆外

|MA|＞r?点M在圆A外

点M(x0，y0)在圆外?(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2

批注?方程中有三个参数，要确定圆的标准方程需要确定这三个参数，其中圆心(a，b)是圆的定位条件，半径r是圆的定量条件．

基础自测

1.判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2.(a，b，r∈R)表示一个圆．()

(2)弦的垂直平分线必过圆心．()

(3)圆内的任意两条弦的垂直平分线的交点一定是圆心．()

(4)圆心与切点的连线长是半径长．()

2．圆(x－2)2＋(y＋3)2＝2的圆心和半径分别是()

A.(－2，3)，1B．(2，－3)，3

C.(－2，3)，2D．(2，－3)，2

3．以原点为圆心，2为半径的圆的标准方程是()

A.x2＋y2＝2

B.x2＋y2＝4

C.(x－2)2＋(y－2)2＝8

D.x2＋y2＝2

4．点(12，32)与圆x2＋y2＝1

A.点在圆上B．点在圆内

C.点在圆外D．不能确定

5．已知A(－1，0)，B(1，0)，则以AB为直径的圆的方程为____________．

题型探究·课堂解透——强化创新性

题型1直接法求圆的方程

例1求满足下列条件的圆的标准方程：

(1)圆心为点(－2，1)，半径为3；

(2)圆心为点(3，4)，且过坐标原点．

方法归纳

根据已知条件，写出圆心坐标和圆的半径，代入标准方程即可．

巩固训练1圆心在y轴上，半径长为1，且过点A(1，2)的圆的方程是()

A．x2＋(y－2)2＝1

B．x2＋(y＋2)2＝1

C．(x－1)2＋(y－3)2＝1

D．x2＋(y－3)2＝4

题型2待定系数法求圆的方程

例2已知圆C的圆心在直线x－2y－3＝0上，且过点A(2，－3)，B(－2，－5)，求圆C的标准方程．

方法归纳

1．待定系数法求圆的标准方程的一般步骤

2．本题还可以利用圆的几何性质求圆的方程：圆心必在线段AB的垂直平分线上．

巩固训练2已知△ABC的三个顶点A(－2，0)，B(2，0)，C(6，4)，求其外接圆H的标准方程．

题型3点与圆的位置关系

例3已知圆的圆心M是直线2x＋y－1＝0与x－2y＋2＝0的交点，且圆过点P(－5，6)，求圆的标准方程，并判断点A(2，2)，B(1，8)，C(6，5)是在圆上，在圆内，还是在圆外？

方法归纳

根据条件求出圆的标准方程，利用点到圆心的距离与半径比较大小得出点与圆的位置关系．

巩固训练3已知三点A(3，2)，B(5，－3)，C(－1，3)，以点P(2，－1)为圆心作一个圆，使A，B，C三点中一点在圆外，一点在圆上，一点在圆内，求这个圆的方程．

易错辨析对圆心位置考虑不全致误

例4已知某圆圆心C在x轴上，半径为5，且在y轴截得的线段AB的长为8，则圆的标准方程为()

A．(x＋3)2＋y2＝25B．x2＋(y±3)2＝25

C．(x±3)2＋y2＝5D．(x±3)2＋y2＝25

解析：方法一由题意知|AC|＝r＝5，|AB|＝8，故|AO|＝4，在Rt△AOC中，|OC|＝AC2-AO2＝

如图所示，有两种情况．

故圆心C的坐标为(－3，0)或(3，0)，故所求圆的标准方程为(x±3)2＋y2＝25.

方法二∵圆心在x轴上，半径为5，

∴设圆的标准方程为(x－a)2＋y2＝25.

∵圆在y轴上截得的线段长为8，

∴a2＋822＝25，解得a＝

∴所求圆的标准方程为(x±3)2＋y2＝25.

答案：D

【易错警示】

出错