16.2 二次根式的乘除 2023-2024学年人教版数学八年级下册.docxVIP

教案

教学基本信息

课题

二次根式的乘法

学科

数学

学段：初中

年级

八年级

教材

书名：《数学（八上）》出版社：人民教育出版社出版日期2013年9月

教学目标及教学重点、难点

本节课主要学习二次根式的乘法法则，会进行二次根式的乘法运算和化简。经历从特殊到一般、从具体到抽象的过程，归纳出二次根式的乘法法则，并通过对法则的正用、逆用，加强对乘法法则的理解，掌握二次根式的乘法运算。教学中重点关注符号意识和运算能力的培养。三道例题。

教学过程(表格描述)

教学环节

主要教学活动

设置意图

复习

引入

复习旧知，铺垫新知

二次根式的定义

二次根式的性质

（二）计算观察，发现规律

【活动1】创设情境，归纳法则

问题1：

一个面积是3的正方形，它的边长是，

一个面积是5的正方形，它的边长是；

若以这两个正方形的边长去构造一个长方形，则它的面积是多少？

不论是解决实际问题的需要，还是实数运算的需要，我们都有必要来研究二次根式的运算。

问题2：

计算下列各式，并观察，你能发现什么规律？

（1），;

（2），;

（3），;.

发现：每组的两个式子，不但保持了运算结果的相等，还保持了运算形式的相同。

问题3：你能再举几个例子验证一下吗？

（对于不方便口算的数字，还可以用计算器）

明确二次根式性质可以用于简化式子结构

从实际问题出发，引入二次根式的乘法运算.感受问题研究的必要性.

从具体例子出发，学生逐步抽象出二次根式的乘法运算规律.

新课

通过计算和举例，我们发现每小题的两个式子计算结果相等，结算过程形式相同.

于是，归纳得到“二次根式的乘法法则”：

一般地，二次根式的乘法法则是：

引导学生从特殊到一般地归纳二次根式的乘法法则.另外，对法则的合理性没有给出一般的说明，是出于考虑到学生的年龄特征和知识水平的原因.

例题

（三）运用法则，加强理解

【活动2】正用法则，初步理解

利用二次根式的乘法法则可以对两个无理数进行具体运算，我们来看例1.

例1.计算

（1）;

解：

（2）.

解：

分析解题过程，及涉及知识点，并生成解法程序.通过对（2）的求解，我们发现，在进行两个二次根式的乘法运算时，先运用“二次根式的乘法法则”将其转化为一个根式，再用“分数的乘法法则”和“二次根式的性质”将运算结果简化，是一种依据所给式子的结构特点进行运算的好方法。

【活动3】逆用法则，深化理解

问题：将“二次根式的乘法法则”从右往左看，写出得到的结论.

于是，得到

我们把这条性质叫做“积的算术平方根性质”.

发现：利用它，可以将一个二次根式转化成两个二次根式相乘的形式，也可以将积的算术平方根转化成算术平方根的积.

例2.化简

（1）;（2）;

解：（1）

（2）

分析解题过程，及涉及知识点，并生成解法程序.

逆用二次根式的乘法法则，即积的算术平方根性质可以对二次根式进行化简.在化简时，一般先将被开方数进行因数分解或因式分解，然后将能开得尽方的因数或因式开出来.并且，我们还将积的算术平方根性质推广，得到：

完成（2）变式练习.

解：（2）变式

此处要注意结果的书写,先写系数后写二次根式.

并提出：只要我们将被开方式的因式，写成了完全平方式的形式，就可以直接移出根号。

【活动4】综合运用，加强理解

例3.计算

（1）;

此题解法不唯一：

解1：

解2：

解3：

二次根式的乘法运算，是一个综合运用二次根式的乘法法则和积的算术平方根性质的过程.

（2）;

解1：

这样，我们将二次根式的乘法法则拓展，得到：

解2：

对比此题的两种解法，得到一般求解程序:

（3）.

这是一道加星号的题目，不妨尝试完成：

解1：

解2：

（3）变式.

学生通过正用法则进行具体运算，初步理解二次根式的乘法法则.感受运用法则可以对结果简化，为后面学习二次根式的化简作铺垫.

明确积的算术平方根性质和二次根式乘法法则是“逆变形”.

通过将法则逆用，加强对乘法法则的理解;引导学生从多角度理解结论,对于学生逆向思维的养成有帮助.

另外，学生对化简二次根式的基本要求也有所认识，加深了对二次根式的乘法法则的理解，增强了灵活应用代数运算法则解决问题的意识，对于提高运算能力有帮助.

学生通过灵活正用或逆用法则进行二次根式的运算，加强了对二次根式的乘法法则的理解，也体会到了解决问题方法的多样性.

总结

（四）梳理关系，总结收获

问题：经历了本节课的研究过程，总结一下我们的收获.

法则和性质：

我们首先从具体例子入手，归纳得到二次根式的乘法法则，并通过“逆变形”，得到“积的算术平方根的性质”，并应用它进行二次根式的化简。在解决问题的过程中，我们还将二次根式的乘法法则进行了推广和拓展。

2.解法程序：

其次，二次根式的乘