数列求和之奇偶项的讨论.docx

题型一：数列奇数偶数项问题

??1?nn

??1?n?1n

??1?n(n?1)

??1?n(n?1)

【真题再现】

1、（2011，山东，文20）等比数列?a

?中，a,a,a

分别是下表第一、二、三行中的某一

n 1 2 3

1 2 3第一列第二列第三列第一行3210

1 2 3

第一列

第二列

第三列

第一行

3

2

10

第二行

6

4

14

第三行

9

8

18

中的任何两个数不在下表的同一列．

（Ⅰ）求数列?a?的通项公式；

n

（Ⅱ）若数列?b

n

?满足：b

n

?a ?(?1)nlna

n n

，求数列?b

n

?的前2n项和S ．

2n

解析：（I）当a

1

?3时，不合题意；

当a?2时，当且仅当a

1 2

?6,a

3

?18时，符合题意；

当a?10时，不合题意。

1

因此a

1

?2,a

2

?6,a

3

?18,

所以公式q=3，

故a ?2?3n?1.

n

（II）因为b

n

?a ?(?1)nlna

n n

?2?3n?1?(?1)n(2?3n?1)

?2?3n?1?(?1)n[ln2?(n?1)ln3]

?2?3n?1?(?1)n(ln2?ln3)?(?1)nnln3,

所以

S ?b?b? ?b

2n 1 2 2n

?2(1?3? ?32n?1)?[?1?1?1? ?(?1)2n](ln2?ln3)

|[?1?2?3? ?(?1)2n2n]ln3

?2?1?32n

1?3

nln3

?32n?nln3?1.

2、（2011，山东，理20）等比数列{a

n

}中，a,a

1 2

,a分别是下表第一、二、三行中的某

3

一个数，且a,a

1 2

,a中的任何两个数不在下表的同一列.

3

第一列

第二列

第三列

第一行

3

2

10

第二行

6

4

14

第三行

9

8

18

（Ⅰ）求数列{a

n

}的通项公式；

（Ⅱ）若数列{b

n

}满足：b

n

?a ?(?1)nlna

n n

求数列{b

n

}的前n项和S .

n

解析：（1）当a

1

?3时，不合题意；当a

1

?2时，当且仅当a

2

?6,a

3

?18时，符合题意；

当a?10时，不合题意；因此a

1 1

?2,a

2

?6,a

3

?18，所以公比q?3 故

3n?1a

3n?1

n

（2）因为

b ?a ?(?1)nlnan n n

=23n?1+(?1)nln（23n?1）

=23n?1+(?1)n?ln2?(n?1)ln3?

=23n?1+(?1)n(ln2?ln3)?(?1)nnln3

S

所以 n

?2(1?3?…+3n-1)????1?1?1?…+(?1)n??(ln2?ln3)

????1?2?3?…+(?1)nn??ln3

1?3n n n

所以当n为偶数时，S

n

?2?

? ln3?3n? ln3?11?3 2 2

S ?2?1?3n?(ln2?ln3)?(n?1?n)ln3

n

当n为奇数时，

? n

1?3 2

n?1

?3n? ln3?ln2?12

综上所述，S

?3n

??

n ?

? ln3?12

n?1

n为偶数

??3n?

ln3?ln2?1

2

n为奇数

3、（2014，山东，文19）在等差数列{a

n

}中，已知公差d?2，a

2

是a与a

1 4

的等比中项.

（Ｉ）求数列{a

n

}的通项公式；

（II）设b

n

?a

n(n?1)

2

，记T

n

??b?b

1 2

b?b

3 4

?…?(?1)nb

n

，求T.

n

解析：（Ⅰ）由题意知：?a

?为等差数列，设a

n n

?a??n?1?d，?a为a与a

1 2 1 4

的等比中

项?a2

2

?a?a

1 4

且 a?0 ，即 ?a

1 1

?d?2?a?a

1 1

?3d?，? d?2 解得：

a?2?a

1 n

?2