新教材2023版高中数学第2章平面解析几何初步2.7用坐标方法解决几何问题学生用书湘教版选择性必修第一册.doc

2．7用坐标方法解决几何问题

最新课程标准

(1)能用坐标法解决几何问题．

(2)会用“数形结合”的数学思想解决问题．

新知初探·课前预习——突出基础性

教材要点

要点一坐标法

平面解析几何的基本思想方法就是在平面直角坐标系中，把点用坐标表示，将直线与圆等曲线用方程表示，通过研究方程来研究图形的性质，这种代数研究方法被称为坐标法．

要点二用代数方法解决几何问题的基本过程

基础自测

1.判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)用坐标方法解决平面几何问题时平面直角坐标系可以随便建．()

(2)圆O上一动点M与圆O外一定点P的距离的最小值为|PO|－|OM|.()

(3)已知点P(x1，y1)和Q(x2，y2)，若x1＝x2，y1≠y2，则PQ与x轴垂直．()

2．方程x2＋y2－2x－4y＋6＝0表示的轨迹为()

A．圆心为(1，2)的圆

B．圆心为(2，1)的圆

C．圆心为(－1，－2)的圆

D．不表示任何图形

3．到原点的距离等于4的动点的轨迹方程是()

A．x2＋y2＝4

B．x2＋y2＝16

C．x2＋y2＝2

D．(x－4)2＋(y－4)2＝16

4．方程|x－1|＝1-y+12表示的曲线是

A．一个圆B．两个半圆

C．两个圆D．半圆

5．已知两定点A(－2，1)，B(2，－1)，如果动点P满足|PA|＝2|PB|，则点P的轨迹所包围的图形的面积等于________．

题型探究·课堂解透——强化创新性

题型1用坐标法证明平面几何问题

例1在△ABC中，AD是BC边上的中线，求证：AB2+AC2＝2(|AD|2＋|DC

方法归纳

用坐标法证明平面几何问题的一般步骤

巩固训练1已知：等腰梯形ABCD中，AB∥DC，对角线为AC和BD.

求证：|AC|＝|BD|.

题型2直接法求动点的轨迹方程

例2已知圆C过点(2，－3)，(0，－3)，(0，－1)．

(1)求圆C的标准方程；

(2)已知点P是直线2x＋y－1＝0与直线x＋2y＋1＝0的交点，过点P作直线与圆C交于点A，B，求弦AB的中点M的轨迹方程．

方法归纳

用直接法求轨迹方程的一般步骤

巩固训练2已知点A(－3，0)，B(3，0)，动点P满足|PA|＝2|PB|.若点P的轨迹为曲线C，求此曲线的方程．

题型3代入法(相关点法)求动点的轨迹方程

例3已知△ABC的三个顶点坐标分别为A(－1，5)，B(5，5)，C(6，－2)．

(1)求△ABC外接圆的方程；

(2)动点D在△ABC的外接圆上运动，点E坐标为(7，4)，求DE中点M的轨迹．

方法归纳

用代入法(相关点法)求轨迹方程的一般步骤

巩固训练3已知圆(x＋1)2＋y2＝2上动点A，x轴上定点B(2，0)，将BA延长到M，使AM＝BA，求动点M的轨迹方程．

易错辨析因忽视验证造成增解而致错

例4求以A(－2，0)，B(2，0)为直径端点的圆的内接三角形的顶点C的轨迹方程．

解析：设C的坐标为(x，y)．

∵△ABC为圆的内接三角形，且圆以线段AB为直径，∴AC⊥BC，即AC·BC＝0.

又AC＝(x＋2，y)，BC＝(x－2，y)，

∴(x＋2，y)·(x－2，y)＝x2－4＋y2＝0.

又当x＝±2时，C与A或B重合，不构成三角形，

∴所求C点的轨迹方程为x2＋y2－4＝0(x≠±2)．

【易错警示】

出错原因

纠错心得

(1)若采用斜率解题，易在表述kAC，kBC时没有注意斜率不存在的情况．

(2)没有验证x＝±2是否满足题意．

求得点的轨迹方程后一定要检查题意中有没有限制条件，如本题构成三角形的条件．

2．7用坐标方法解决几何问题

新知初探·课前预习

[教材要点]

要点二

几何代数

[基础自测]

1．(1)×(2)√(3)√

2．解析：因为x2＋y2－2x－4y＋6＝0等价于(x－1)2＋(y－2)2＝－1，即方程无解，所以该方程不表示任何图形．

答案：D

3．解析：由题意可知到原点的距离等于4的动点的轨迹方程是圆的方程，圆心是坐标原点，半径为4，故所求轨迹方程为x2＋y2＝16.

答案：B

4．解析：方程两边平方得(x－1)2＋(y＋1)2＝1.

答案：A

5．解析：设P(x，y)，由题设得：(x＋2)2＋(y－1)2＝2[(x－2)2＋(y＋1)2]，∴(x－6)2＋(y＋3)2＝40，故P的轨迹是半径为40的圆，∴图形的面积等于40π.

答案：40π

题型探究·课堂解透

例1

证明：设BC所在边为x轴，以D为原点，建立坐标系，如图所示，设A(b，c)，C(a，0)，则B(－a，0)．

∵|AB|2＝(a＋b)2＋c2，

|AC|2＝(a－b)2＋c2，|AD|2＝b2＋c2，|DC|2＝a2，

∴|A