新教材2023版高中数学第2章平面解析几何初步2.6直线与圆圆与圆的位置关系2.6.1直线与圆的位置关系学生用书湘教版选择性必修第一册.doc

2．6直线与圆、圆与圆的位置关系

2．6.1直线与圆的位置关系

最新课程标准

(1)掌握直线与圆的三种位置关系：相交、相切、相离．

(2)会用代数法和几何法来判断直线与圆的三种位置关系．

(3)会用直线与圆的位置关系来解决一些实际问题．

新知初探·课前预习——突出基础性

教材要点

要点直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系的判断

位置关系

相交

相切

相离

公共点个数

____个

____个

____个

判定方法?

几何法：设圆心到直线的距离d＝Aa+Bb+C

d____r

d____r

d____r

代数法：由Ax+By+C=0

消元得到一元二次方程的判别式Δ

Δ____0

Δ____0

Δ____0

批注?“几何法”与“代数法”判断直线与圆的位置关系，是从不同的方面，不同的思路来判断的．“几何法”更多地侧重于“形”，更多地结合了图形的几何性质；“代数法”则侧重于“数”，它倾向于“坐标”与“方程”．

基础自测

1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)直线与圆最多有两个公共点．()

(2)如果一条直线被圆截得的弦长最长，则此直线过圆心．()

(3)若A，B是圆O外两点，则直线AB与圆O相离.()

(4)若C为圆O内一点，则过点C的直线与圆O相交.()

2．直线3x＋4y－5＝0与圆x2＋y2＝1的位置关系是()

A．相交B．相切

C．相离D．无法判断

3．设A，B为直线y＝x与圆x2＋y2＝1的两个交点，则|AB|＝()

A．1B．2C．3D．2

4．若直线x＋y＝2与圆x2＋y2＝m(m0)相切，则m的值为()

A．12B．22C．2D

5．直线x＋2y＝0被圆C：x2＋y2－6x－2y－15＝0所截得的弦长等于________．

题型探究·课堂解透——强化创新性

题型1直线与圆的位置关系

例1[2022·湖南长沙测试]已知圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝4(a0，b0)与x轴、y轴分別相切于A、B两点．

(1)求圆C的方程；

(2)若直线l：y＝kx－2与线段AB没有公共点，求实数k的取值范围；

(3)试讨论直线l：y＝kx－2与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝4(a0，b0)的位置关系．

方法归纳

判断直线与圆位置关系的3种方法

巩固训练1(1)已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是()

A．相切B．相交C．相离D．不确定

(2)若过点(1，2)总可以作两条直线与圆x2＋y2＋kx＋2y＋k2－15＝0相切，则实数k的取值范围是________．

题型2直线与圆相切问题

例2(1)过点P(－2，4)的直线l与圆C：x2＋y2＋2x－2y－3＝0相切，则直线l的方程为()

A．x＝－2或2x－y＋8＝0

B．x＝－2或x＋2y－6＝0

C．2x－y＋8＝0或x＋2y－6＝0

D．x－2y＋10＝0或2x＋y＝0

(2)过直线y＝2x－3上的点作圆C：x2＋y2－4x＋6y＋12＝0的切线，则切线长的最小值为()

A．555B．19C．25D．

(3)过点M(2，－3)作圆C：x2＋y2＝13的切线，则切线的方程为________．

方法归纳

圆的切线的求解策略

巩固训练2(1)直线3x＋4y＝b与圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0相切，则b的值是()

A．－2或12B．2或－12

C．－2或－12D．2或12

(2)已知直线l平行于直线x－y＋2＝0，且与圆x2＋y2＝2相切，则直线l的方程是____________．

题型3直线与圆相交问题

例3(1)过点(3，1)作圆(x－2)2＋(y－2)2＝4的弦，其中最短弦的长为________；

(2)[2022·湖南衡阳田家炳实验中学测试]已知直线l：(a＋1)x－ay＋3＝0(a0)．若直线l被圆x2－2x＋y2－5＝0截得的弦长为2，求直线l的方程．

方法归纳

求圆的弦长的2种常用方法

巩固训练3[2022·湖南攸县三中测试]已知圆C的方程：x2＋y2－2x－4y＋m＝0.

(1)求m的取值范围；

(2)当圆C过A(1，1)时，求直线l：x＋2y－4＝0被圆C所截得的弦MN的长．

易错辨析忽略了圆的一个隐含条件

例4已知圆的方程为x2＋y2＋ax＋2y＋a2＝0，一定点A(1，2)，要使过定点A(1，2)作圆的切线有两条，则a的取值范围为________．

解析：圆的标准方程为

(x＋a2)2＋(y＋1)2＝4

圆心C坐标为(－a2，－1)

半径r＝4-3a

则4－3a20，解得－23