热力学与统计物理试题及答案.docx

一． 填空题（共40分）

．N个全同近独立粒子构成的热力学系统，如果每个粒子的自由度为r，系统的自由度为（Nr）。系统的状态可以用（2Nr）维Г空间中的一个代表点表示。

对于处于平衡态的孤立系统，如果系统所有可能的微观状态数为Ω，则每一微观状态出现的概率为（1/?），系统的熵为

（kln? ）。

玻色统计与费米统计的区别在于系统中的粒子是否遵从（泡利不相容原理）原理，其中（费米）系统的分布必须满足0≤fs≤1。

玻色系统和费米系统在满足（经典极限条件(或e-α1) 或eα1）条件时，可以使用玻尔兹曼统计。

?dU??ad? ???da

?

l l l l

l l

给出内能变化的两个原因，其中（

?da ）

l l

项描述传热，（?

l

ad?

l l

l

）项描述做功。

对粒子数守恒的玻色系统，温度下降会使粒子的化学势（升高）；如果温度足够低，则会发生（玻色——爱因斯坦凝聚）。这时系统的能量U＝（0），压强p＝（0），熵S＝（0）。

0 0 0

7．已知粒子遵从经典玻尔兹曼分布，其能量表达式为

1

?? (p2

2m x

b2/4a）。

p2

y

p2)?ax2?bx

z

，粒子的平均能量为（2kT－

当温度（很低）或粒子数密度（很大）时，玻色系统与费米系统的量子关联效应会很强。

如果系统的分布函数为ρ，系统在量子态s的能量为E，用ρ和E

s ??

s s s

表示：系统的平均能量为（ E? E

s s

? s

），能量涨落为

（ ?(E

s s

s

E)2 ）（如写成E2?(E)2也得分）。

与宏观平衡态对应的是稳定系综，稳定系综的分布函数ρ具有特点

s

（dρ/dt=0或与时间无关等同样的意思也得分），同时ρ也满

s s

足归一化条件。

二．计算证明题（每题10分，共60分）1．假定某种类型分子（设粒子可以分辨）的许可能及为0，ω，2ω，

3ω，。。。，而且都是非简并的，如果系统含有6个分子，问：

与总能量3ω相联系的分布是什么样的分布？分布需要满足的条件是什么？

根据公式??a?? N!??al计算每种分布的微观态数?；

l ?a!ll

l

确定各种分布的概率。

解：能级： ε，ε，ε，ε，…

1 2 3 4

能量值： 0，ω，2ω，3ω，…

简并度： 1，1， 1，1，…

分布数： a, a, a, a,…

1 2 3 4

分布?a?要满足的条件为：?a

?N?6

l l

l

?a?

ll

?E?3?

l

满足上述条件的分布有：A：?a???5,0,0,1,0,...?

l

B：?a???4,1,1,0,0,...?

l

C：?a???3,3,0,0,0,...?

l

?

A

各分布对应的微观态数为：?

B

? 6! ?1?6;5!?1!

? 6! ?1?30;4!?1!?1!

? ? 6!

C 3!?3!

?1?20

所有分布总的微观态数为：??? ?? ??

A B C

?6?30?20?56

p

A

各分布对应的概率为：p

B

p

?? /??6/56?0.107;

A

?? /??30/56?0.536;

B

?? /??20/56?0.357;

C C

表面活性物质的分子在液面（面积为A）上做二维自由运动，可以看作二维理想气体，设粒子的质量为m，总粒子数为N。

求单粒子的配分函数Z；

1

在平衡态，按玻尔兹曼分布率，写出位置在x到x＋dx，y到y＋

dy内，动量在p到p＋dp，p到p＋dp

内的分子数dN；

x x x y y y

写出分子按速度的分布；

写出分子按速率的分布。

1解：（1）单粒子的配分函数z? ???? e??(p2?p2)dxdydpdp

1

?A(2?mkT)

1 h2

2m x y

x y h2

（2）dN?e?(????)

dxdydpdp

x y

h2

?Ne???Z

1

dxdydpdp

x y

h2

（3）将（1）代入（2），并对dxdy积分，得分子按速度的分布为

m

)edN

)e

v

?N(

2?k