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21.1 一元二次方程
【教学目标】
知识与技能
了解整式方程的意义,理解一元二次方程及其有关概念;
掌握一元二次方程的一般形式,能熟练指出二次项、二次项系数、一次项、一次项系数以及常数项等内容;
了解一元二次方程根的意义和用法。过程与方法
通过对黄金分割以及身边的实际应用例子的展示,一方面让学生了解对应用问题的处理方法,另一方面,通过这类方程和前面所学的方程的比较,让学生学会学习新知的方法—
—类比法;
通过对类比法的说明,培养学生观察、分析、比较和归纳问题的意识;
通过对学生从现实生活中发现数学的过程,体会数学建模的应用。情感、态度与价值观
经历在应用过程中归纳概念的过程,培养学生体会数学在身边、用数学解决身边实际问题的能力,逐步感知数学的应用能力和数学美。
通过对一元二次方程定义的讲解,培养学生在生活中处理问题的的严谨性和合理性。
【教学重难点】
重点:一元二次方程的概念和一般形式。
难点:正确识别一元二次方程和列一元二次方程。
【教法与学法导航】
?教学方法
激趣法、诱导法、探究与讨论法、设问法、归纳法
?学习方法:
动手操作法,自主探究法,互动学习法,发现法,合作探究与讨论归纳法
【教学准备】
?教师准备:
PPT课件(开头的应用问题、一元二次方程的特点、练习题、板书设计等内容),每个学生一份长10cm,宽5cm的矩形纸各一张。
?学生准备:刻度尺剪刀
【教学过程】
一、问题探索—导入新知
(一)利用多媒体展示问题1和问题2:
(师:请同学们思考大屏幕上这两个问题)
问题1.如图,有一块矩形铁皮,长100cm,宽50cm,在它的四角各切去一个统一的正方形,然后将四周突出部分折起,就能制作一个无盖方盒。如果要制作的无盖方盒的底面积为3600cm2,那么铁皮各角应切去多大的正方形?
问题2.要组织一次排球邀请赛,参赛的每两个队之间都比赛一场.根据场地和时间等条件,赛程计划安排7天,每天安排4场比赛,比赛组织者应邀请多少个队参赛?
(生:思考问题同时,师:向每个学生发一张长10cm,宽5cm的矩形纸。)
(二)探究与思考:
操作一下,怎样折成一个无盖纸盒?(师引导生思考后动手操作一下)
折成无盖方盒后,如果设铁皮的各角应切去边长为xcm的正方形.怎样列方程?
提示:易知,底面矩形的长和宽分别是(100-2x)cm和(50-2x)cm,然后
根据方盒的底面积是3600cm2列方程求解.即根据题意得:(100-2x)(50-2x)
=3600,化简得x2-75x+350=0。(结合生折合的无盖纸盒,师引导其列出方程.)3.如果设底面长为xcm,可怎样列方程?(继续探究,思维拓展)
4.对于问题2,若设比赛组织者应邀请x队参赛,则每个队参加多少场比赛,则共有多少场比赛,如何列方程求解。
生:通过思考,交流合作列出方程并期待师给出正确评价.师:请同学们把方程左边按未知数的降幂排列,右边为0.
1
即 x(x?1)?4?7,整理后得x2?x?56?0.
2
设计意图:这两个问题都是通过列方程来解的应用题。一是为了化解本章的难点,让学生先接触一些比较简单的应用题,通过解题培养自信;另一方面,通过常规的解应用题的步
骤,得到一元二次方程。故意让学生出现卡壳的现象,这为进一步探究新方程服务。
二、对比交流—探究新知
(利用多媒体展示问题1和问题2所列出的两个方程及三个有关的问题)师:请同学们观察由问题1和问题2所列出的两个方程:
x2-75x+350=0,x2-x-56=0.
观察这两个方程的结构特点,它们的未知数的个数和最高次数各是多少?它们有什么共同点?
对比以上三个方程与一元一次方程,它们有什么区别?由此,你能得到关于一元二次方程的特征吗?
根据这个特征,你能给一元二次方程下个定义吗?
(生:思考中.师:板书课题.)
设计意图:让学生自己进行对比研究,比较现在的方程与以前的有什么异同。通过对照,意在让学生通过讨论、归纳,科学而全面地得到一元二次方程的概念。
根据学生讨论、交流,得到一元二次方程及其相关量的概念(师:板书一元二次方程的定义)
(一)定义:等号两边都是整式,只含有一个未知数,(一元),并且未知数的最高次数是2(二次)的方程,叫做一元二次方程。
师:根据这个定义,我们能识别一元二次方程吗?(多媒体展示例1,并引导生完成例
1的解答.)
例1.判断下列方程哪些是一元二次方程:
(1)3x2+4x-2=0;(2)x2-2x+3=6x-1;(3)7-x3=x+x2;(4)x2-2xy-4=0;
1
(5)3x2=5-
;(6)2-x2+y2=x+m;
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