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线性代数试题（完整试题与详细答案）

一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

1．行列式第二行第一列元素的代数余子式=（）

A．-2 B．-1

C．1 D．2

2．设为2阶矩阵，若=3，则（）

A． B．1

C． D．2

3．设阶矩阵、、满足，则（）

A． B．

C． D．

4．已知2阶矩阵的行列式，则（）

A． B．

C． D．

5．向量组的秩不为零的充分必要条件是（）

A．中没有线性相关的部分组 B．中至少有一个非零向量

C．全是非零向量 D．全是零向量

6．设为矩阵，则元齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是（）

A． B．

C． D．

7．已知3阶矩阵的特征值为-1，0，1，则下列矩阵中可逆的是（）

A． B．

C． D．

8．下列矩阵中不是初等矩阵的为（）

A． B．

C． D．

9．4元二次型的秩为（）

A．1 B．2

C．3 D．4

10．设矩阵，则二次型的规范形为（）

A． B．

C． D．

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。

11．已知行列式，则______.

12．已知矩阵，且，则=______.

13．设矩阵，则______.

14．已知矩阵方程，其中，则______.

15．已知向量组线性相关，则数______.

16．设向量组，且，则向量组的秩为______.

17．已知3元非齐次线性方程组的增广矩阵为，若该方程组无解，则的取值为______.

18．已知3阶矩阵的特征值分别为1，2，3，则|E+A|=______.

19．已知向量与正交，则数______.

20．已知3元二次型正定，则数的最大取值范围是______.

三、计算题(本大题共6小题，每小题9分，共54分)

21．计算行列式的值.

22．设矩阵，为2阶单位矩阵，矩阵满足，求||.

23．已知线性方程组

(1)讨论常数满足什么条件时，方程组有解．

(2)当方程组有无穷多解时，求出其通解(要求用它的一个特解和导出组的基础解系表示)．

24．设向量组，

求该向量组的秩及一个极大无关组，并将其余向量用此极大无关组线性表示．

25．设矩阵，存在，使得

；存在使得.试求可逆矩阵，使得.

26．已知二次型，求一正交变换，将此二次型化为标准形．

四、证明题(本题6分)

27．设向量组线性无关，且．证明：若≠0，则向量组也线性无关

线性代数试题答案

一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）。

1.B2.C3.A4.A5.B6.C7.D8.D9.B10.D

1．[解析]

2．[解析]由知，故

4．[解析]由，知本题正确选项为A.

6．[解析]n元齐次线性方程组Ax=O有非零解的充要条件是r(A)n，亦即A的列向量线性相关．

7．[解析]由于矩阵A的特征值为-1，0，1，易知2E-A的特征值为3，2，1，全不为零，故矩阵2E-A可逆．

8．[解析]根据初等矩阵的定义可知，选项D中的矩阵不能由单位矩阵经过一次初等变换得到，故其不是初等矩阵．

9．[解析]由题知二次型的矩阵是：故r(A)=2.

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

11.2 12． 13． 14．

15.1 16.2 17.-1 18.24

19.-1 20.-3a1

11.[解析]，

故

12.[解析]

则

13.[解析]由A易得故

17.[解析]若方程组无解，则r(A)≠r(Ab)，即d+1=O，a=-1，此时r(A)=-1≠r(Ab)-2．

19.[解析]若a与正交，则=3+k+2k=O，得k=-1．

20.[解析]由二次型正定，可知：①

②

③

联立①②③-3a1．

三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）

21.解

22．解一由B=B+E,有B(A-E)=E，

因此．从而

而，故

解二由BA=B+E，有B(A-E)=E，

因此

从而

23.解(1)由于方程组的增广矩阵

可知，当时，r(A)==r(A)，方程组有解．

(2)当时，，方程组有无穷多解，

得

从而通解为（k为任意常数）．

24.解由

得向号组的秧为3，为一个极大无关组，

（答案不唯一）

25.解由条件知存在可逆矩阵和对角矩阵

使得

由此得到

令

有

26．解二次型的矩阵

由

得A的特征值为

对应的特征向量分别为

将与正交化，得到

再将单位化，得到

令

经正交变换x=Py，可将原二次型化为标准形：

四、