人教A版高中数学三维设计必修5讲义.docx

正弦定理和余弦定理

正弦定理

预习课本

预习课本P2～3，思考并完成以下问题

(1)直角三角形中的边角之间有什么关系？

(2)正弦定理的内容是什么？利用它可以解哪两类三角形？

(3)解三角形的含义是什么？

[

[新知初探]

正弦定理

a b c

在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即sinA＝sinB＝sinC.

[点睛] 正弦定理的特点

适用范围：正弦定理对任意的三角形都成立．

结构形式：分子为三角形的边长，分母为相应边所对角的正弦的连等式．

刻画规律：正弦定理刻画了三角形中边与角的一种数量关系，可以实现三角形中边角关系的互化．

解三角形

[小试身手]一般地，把三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素，已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形．

[小试身手]

判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)正弦定理适用于任意三角形( )

在△ABC中，等式bsinA＝asinB总能成立( )

在△ABC中，已知a，b，A，则此三角形有唯一解( )

解析：(1)正确．正弦定理适用于任意三角形．

a b

正确．由正弦定理知sinA＝sinB，即bsinA＝asin B.

错误．在△ABC中，已知a，b，A，此三角形的解有可能是无解、一解、两解的情况，具体情况由a，b，A的值来定．

答案：(1)√ (2)√ (3)×

在△ABC中，下列式子与sinA ( )

b

A.c

sinC

c

a 的值相等的是

sinB

sinA

c

D.sinC

a c

解析：选C 由正弦定理得，sinA＝sinC，

a ＝ .c所以sinA

a ＝ .c

3．在△ABC中，已知A＝30°，B＝60°，a＝10，则b等于( )

3A．5 2 B．10

3

610 33D

6

10 3

3

asinB

10×2

3解析：选B 由正弦定理得，b＝sinA＝

3

1 ＝10 3.

2

4 π

．在△ABC中，A＝6，b＝2，以下错误的是( )

A．若a＝1，则c有一解 B．若a＝3，则c有两解

C 4

π．若a＝5，则c无解

π

D．若a＝3，则c有两解

解析：选D a＝

2sin6＝1时，c有一解；当a1时，c无解；当1a2时，c有两个

解；a2时，c有一解．故选D.

已知两角及一边解三角形

已知两角及一边解三角形

[典例] 在△ABC中，已知a＝8，B＝60°，C＝75°，求A，b，c.[解] A＝180°－(B＋C)＝180°－(60°＋75°)＝45°，

b

由正弦定理 ＝

a

，得b

asinB 8×sin60°

4 6，

sinB sinA

＝sinA＝

sin45° ＝

a c asinC 8×sin75°

2＋ 6

8× 4

由sinA＝sinC，得c＝sinA＝ sin45° ＝

2 ＝4( 3＋1)．

2

已知三角形任意两角和一边解三角形的基本思路

已知三角形任意两角和一边解三角形的基本思路

由三角形的内角和定理求出第三个角．

由正弦定理公式的变形，求另外的两条边．

[注意] 若已知角不是特殊角时，往往先求出其正弦值(这时应注意角的拆并，即将非特

殊角转化为特殊角的和或差，如75°＝45°＋30°)，再根据上述思路求解．

[活学活用]

在△ABC中，若A＝60°，B＝45°，BC＝3 2，则AC＝( )

3A．4 3C.

3

BC AC

B．2 3

23

2

3 2 AC

3 2 2

解析：选B 由正弦定理得，sinA＝sinB，即sin60°＝sin45°，所以AC＝

2 3，故选B.

3×2＝

2

已知两边及其中一边的对角解三角形

已知两边及其中一边的对角解三角形

[典例] 在△ABC中，a＝3，b＝2，B＝45°，求A，C，c.

[解] 由正弦定理及已知条件，有 3＝ 2 ，得sinA＝ 3

sinA sin45° 2.

∵ab，∴AB＝45°.∴A＝60°或120°.

当A＝60°时，C＝180°－45°－60°＝75°，c

bsinC

2sin75°＝

6＋ 2

＝sinB＝sin45° 2 ；

当A＝120°时，C＝180°－45°－120°＝15°，c＝bsinC

2sin15°＝

6－ 2

sinB＝sin45° 2 .

6＋ 2 6－ 2

综上可知：A＝60°，C＝75°，c＝

2 或A＝120°，C＝15°，c＝ 2 .

已知