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崇德尚学
笃行致新
数学上册知识点总结
一元二次方程
知识点一一元二次方程的定义
等号两边都是整式,只含有一个未知数(一元),并且未知数的最高次数是2(二次)的方程,叫做一元二次方程。
注意一下几点:
①只含有一个未知数;②未知数的最高次数是2;③是整式方程。知识点二一元二次方程的一般形式
一般形式:ax2 +bx+c=0(a≠0).其中,ax2是二次项,a是二次项系数;bx是一次项,b是一次项系数;c是常数项。
知识点三一元二次方程的根
使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解,也叫做一元二次方程的根。方程的解的定义是解方程过程中验根的依据。
降次——解一元二次方程
配方法
知识点一直接开平方法解一元二次方程
如果方程的一边可以化成含未知数的代数式的平方,另一边是非负数,可以直接开平方。一般地,对于形如 x2=a(a≥0)的方程,根据平方根的定义可解得
aax= ,x= .
a
a
1 2
直接开平方法适用于解形如x2=p或(mx+a)2=p(m≠0)形式的方程,如果p≥0,就可以利用直接开平方法。
用直接开平方法求一元二次方程的根,要正确运用平方根的性质,即正数的平方
根有两个,它们互为相反数;零的平方根是零;负数没有平方根。
直接开平方法解一元二次方程的步骤是:①移项;②使二次项系数或含有未知数的式子的平方项的系数为1;③两边直接开平方,使原方程变为两个一元二次方程;
④解一元一次方程,求出原方程的根。知识点二配方法解一元二次方程
通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法,叫做配方法,配方的目的是降次,把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解。
配方法的一般步骤可以总结为:一移、二除、三配、四开。
(1)把常数项移到等号的右边; ⑵方程两边都除以二次项系数;
⑶方程两边都加上一次项系数一半的平方,把左边配成完全平方式; ⑷若等号右边为非负数,直接开平方求出方程的解。
公式法
知识点一公式法解一元二次方程
一般地,对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),如果b2-4ac≥0,那么方程的两个
b?
b? b 2?4ac
2a
,这个公式叫做一元二次方程的求根公式,利用求根公式,
我们可以由一元二方程的系数a,b,c的值直接求得方程的解,这种解方程的方法叫做公式法。
一元二次方程求根公式的推导过程,就是用配方法解一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的过程。
公式法解一元二次方程的具体步骤:
①方程化为一般形式:ax2+bx+c=0(a≠0),一般a化为正值 ②确定公式中a,b,c的值,注意符号;
③求出b2-4ac的值; ④若b2-4ac≥0,则把a,b,c和b-4ac的值代入公式即可求解,若b2-4ac<0,则方程无实数根。
知识点二一元二次方程根的判别式
式子b2-4ac叫做方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式,通常用希腊字母△表示它,即△
=b2-4ac.
△>0,方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根
一元二次方程 △=0,方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根根的判别式
△<0,方程ax2+bx+c=0(a≠0)无实数根
因式分解法
知识点一因式分解法解一元二次方程
把一元二次方程的一边化为0,而另一边分解成两个一次因式的积,进而转化为求两个求一元一次方程的解,这种解方程的方法叫做因式分解法。
因式分解法的详细步骤:
①移项,将所有的项都移到左边,右边化为0;
②把方程的左边分解成两个因式的积,可用的方法有提公因式、平方差公式和完全平方公式;
③令每一个因式分别为零,得到一元一次方程;
④解一元一次方程即可得到原方程的解。
知识点二用合适的方法解一元一次方程
方法名
理论依据
适用范围
称
直接开平
平方根的意
形如x2=p或(mx+n)2=p(p
方法
义
≥0)
配方法
完全平方公式
所有一元二次方程
公式法
配方法
所有一元二次方程
因式分解
当ab=0,则a=0
一边为0,另一边易于分解
法
或b=0
成两个一次因式的积的一
元二次方程。
一元二次方程的根与系数的关系
若一元二次方程x2+px+q=0的两个根为x
,x,则有x+x=-p,xx=q.
1 2 1 2 1 2
b c
若一元二次方程a2x+bx+c=0(a≠0)有两个实数根x,x,则有x
+x=, ,xx=
1 2
22.3实际问题与一元二次方程
知识点一列一元二次方程解应用题的一般步骤:
1 2 a 1 2 a
审:是指读懂题目,弄清题意,明确哪些是已知量,哪些是未知
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