人教版高中数学同步练习——二倍角的正弦、余弦、正切公式.docx

人教版高中数学同步练习

3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式

课时目标 1.会从两角和的正弦、余弦、正切公式导出二倍角的正弦、余弦、正切公式.2.

1．倍角公式

1．倍角公式

(1)S

：sin2α＝2sinαcosα，sin

αcosα＝1sinα；

2α

(2)C

2 2 2

：cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1

2α

＝1－2sin2α；

(3)T

：tan2α＝

2tanα.

2α 1－tan2α

倍角公式常用变形

(1) ＝ ， ＝

(1) ＝ ， ＝ ；

2sinα 2cosα

(2)(sinα±cosα)2＝ ；

(3)sin2α＝

，cos2α＝ .

一、选择题

1．计算1－2sin222.5°的结果等于( )

2A.1

2

2

2

3

3

3

2

4π2．函数y＝2cos2(x－π)－1是( )A．最小正周期为π的奇函数

4

π

B．最小正周期为2的奇函数

C．最小正周期为π的偶函数

D π

．最小正周期为2的偶函数

6 3 3若sin(π－α)＝1，则cos(2π＋2α)的值为( )

6 3 3

A 1 7 1 7

．－3

B．－9

C.3 D.9

4 1－tanθ cos2θ

．若2＋tanθ＝1，则1＋sin2θ的值为( )

A．3 B．－3 C．－2 D 1

5．如果|cos

5．如果|cosθ|＝1 5π θ3π，则sinθ

5，2

2的值

是(

)

A．－

10

5

B. 10

5

C．－

15

5

D. 15

5

A.2

B.7

C.14

sin?α＋2?

1＋2cos?2

1＋2cos?2α－π?

6．已知角α在第一象限且cosα＝5，则

3

π

4

等于(

)

5 5 5

．－5

题

号

1

2

3

4

5

6

答

案

二、填空题

7.3－sin70°

7.

2－cos210°的值是 ．

函数f(x)＝cosx－sin2x－cos2x 7 ．

已知tanθ＝3

＋4的最大值是

1－cosθ＋sinθ

＝ .

2 ，则1＋cosθ＋sinθ

2已知sin22α＋sin2αcosα－cos2α＝1，α∈(0，π)，则α＝ .

2

三、解答题

11 3－4cos2A＋cos4A

．求证：3＋4cos2A＋cos4A＝tan4A.

?π ?

4 5πx7π

sin2x－2sin2x

若cos?

－x?＝－，

，求 的值．

4 5 4 4 1＋tanx

能力提升14．求值

能力提升

14．求值：tan70°cos10°( 3tan20°－1)．

1．对于“

1．对于“二倍角”应该有广义上的理解，如：

8α是4α的二倍；6α是3α的二倍；4α是2α的二倍；3α是2α

3

的二倍

；2是4的二倍；3是6的

α α

α α

二倍；α＝2α (n∈N*)．

2n 2n＋12．二倍角余弦公式的运用

在二倍角公式中，二倍角的余弦公式最为灵活多样，应用广泛，二倍角的常用形式：①1

＋cos2α＝2cos2α，②cos2α＝2

1＋cos2α

，③1－cos2α＝2sin2α，④sin2α＝

1－cos2α

2

.

知识梳理

2．(1)cosα sinα (2)1±sin2α

作业设计

1．B 2.A

1－cos2α 1＋cos2α(3) 2 2

3．B [cos(2π＋2α)＝－cos(π－2α)＝－cos[2(π－α)]

3 3 6

6 6 9＝－[1－2sin2(π－α)]＝2sin2(π－α)－1＝－7.]

6 6 9

1－tanθ 1

4．A

—.

2＋tanθ[∵ ＝1，∴tan2θ＝

?－1－? ?

cos2θ

cos2θ－sin2θ1 c＋osθ－sinθ 1－tanθ

c2o?s

∴ ＝2

＝?1

sin2θ ＝?sinθ＋c＝osθ?

θ＋＝3.]

sinθ 1＋tanθ ?－

1＋? 2?

5．C [∵5πθ3π，|cosθ|＝1，

2 5

1

∴cosθ0，cosθ＝－5.

5π θ 3，∴ θ

∵422π sin20.

θ 1－cosθ 3

由si2n2＝2 ＝5，

θ 15

∴sin2＝－5 .]

6．C [∵cosα 3 α sinα＝4

＝5且 在第一象限，∴ 5.

∴cos2α＝cos2α－sin2α＝－

25，sin2α＝2sinαcosα＝24

25，

7

25，

＋ π π

1 2?cos2αcos＋s4in2αsin4?

1＋cos2α＋sin2α 14

7．2

原式co＝sα

＝ cosα

＝5.]