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“定弦定角”模型延伸思考

【前情回顾】

若在△ABC中，设定边AB=m，所对定角∠C=α，当点C运动至所在弧中点位置时，△ABC面积最大（如图所示）

【问题呈现】

试确定点C的位置，使得△ABC周长最大

分析点C位置：

∵AD为直径

∴∠ABD=90°

∴∠D+∠A=90°，∠CBD+∠ABC=90°

∵CD=CB

∴∠D=∠CBD

∴∠A=∠ABC

则CA=CB

故点C运动到所在弧中点时，△ABC周长最大

【得出结论】

在△ABC中，设定边AB=m，所对定角∠C=α，当点C运动至所在弧中点位置时，△ABC面积与周长取得最大值（即△ABC是以点C为顶点的等腰三角形）

【典例赏析】

（1）已知△ABC中，AB=6，∠C=90°，求△ABC周长的最大值.

解析：由结论得：当CA=CB时，△ABC周长最大

∵AC=BC=2

∴C

（2）已知△ABC中，AB=6，∠C=60°，求AC+12

解析：利用推导过程的“折化直”思想延长AC至D，使得CD=12BC，此时AC+12

设CD=x，则BC=2x

∴CE=BC?cos60°=x，BE=3

∴DE=2x

∵BE2

∴（3

则AE=3

在Rt△ABE中，（

解得：x=4

∴AD=AE+DE=3

故（AC+1

【练习巩固】取材于刘东升老师挑战题

如图1，点A、B、C在一直线上，在同侧作等边△ABD与等边△ACE，连接BE、CD交于P，将△ACE绕点A逆时针旋转α（0α360°）（如图2所示），利用图2解决下列问题：

（1）求证：BE=CD.

（2）求∠BPC的度数.

（3）连接AP

①试说明AP平分∠DPE.

②若AB=4，在旋转过程中，求△ADP面积及周长的最大值.

【延伸思考】

如图，AB为半圆O的直径，AB=4，点P为半圆O上一动点，过点P作PQ⊥AB，求PQ+3AQ的最大值.