人教版九年级数学上册全册导学案.docx

第二十一章 一元二次方程

一元二次方程

了解一元二次方程的概念，应用一元二次方程概念解决一些简单问题．

掌握一元二次方程的一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)及有关概念．

会进行简单的一元二次方程的试解；理解方程解的概念．

重点：一元二次方程的概念及其一般形式；一元二次方程解的探索．

难点：由实际问题列出一元二次方程；准确认识一元二次方程的二次项和系数以及一次项和系数及常数项．

一、自学指导．(10分钟)问题1：

如图，有一块矩形铁皮，长100cm，宽50cm，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒．如果要制作的无盖方盒的底面积为3600cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？

分析：设切去的正方形的边长为xcm，则盒底的长为 (100－2x)cm ，宽

为 (50－2x)cm ．列方程 (100－2x)·(50－2x)＝3600 ，化简整理，得 x2

－75x＋350＝0 ．①

问题2：要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场．根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？

分析：全部比赛的场数为 4×7＝28 ．

设应邀请x个队参赛，每个队要与其他 (x－1) 个队各赛1场，所以全部

x（x－1） x（x－1）

比赛共 2

＝0 ．②

探究：

场．列方程 2

＝28 ，化简整理，得 x2－x－56

方程①②中未知数的个数各是多少？ 1个 ．

它们最高次数分别是几次？ 2次 ．

归纳：方程①②的共同特点是：这些方程的两边都是 整式 ，只含有

一个 未知数(一元)，并且未知数的最高次数是 2 的方程．

一元二次方程的定义

等号两边都是 整式 ，只含有 一 个未知数(一元)，并且未知数的最

高次数是 2 (二次)的方程，叫做一元二次方程．

一元二次方程的一般形式

一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式：ax2＋bx＋c＝0(a≠0)．

这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中 ax2 是二次项， a 是二

次项系数， bx 是一次项， b 是一次项系数， c 是常数项．

点拨精讲：二次项系数、一次项系数、常数项都要包含它前面的符号．二次项系数a≠0是一个重要条件，不能漏掉．

二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(6分钟)1．判断下列方程，哪些是一元二次方程？

(1)x3－2x2＋5＝0； (2)x2＝1；

4＝ ＋5；1 3(3)5x2－2x－ x2

4＝ ＋5；

(4)2(x＋1)2＝3(x＋1)；(5)x2－2x＝x2＋1; (6)ax2＋bx＋c＝0.解：(2)(3)(4)．

点拨精讲：有些含字母系数的方程，尽管分母中含有字母，但只要分母中不含有未知数，这样的方程仍然是整式方程．

2．将方程3x(x－1)＝5(x＋2)化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项．

解：去括号，得3x2－3x＝5x＋10.移项，合并同类项，得3x2－8x－10＝0.

其中二次项系数是3，一次项系数是－8，常数项是－10.

点拨精讲：将一元二次方程化成一般形式时，通常要将首项化负为正，化分为整．

一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动

成果．(8分钟)

求证：关于x的方程(m2－8m＋17)x2＋2mx＋1＝0，无论m取何值，该方程都是一元二次方程．

证明：m2－8m＋17＝(m－4)2＋1，

∵(m－4)2≥0，

∴(m－4)2＋10，即(m－4)2＋1≠0.

∴无论m取何值，该方程都是一元二次方程．

点拨精讲：要证明无论m取何值，该方程都是一元二次方程，只要证明m2

－8m＋17≠0即可．

下面哪些数是方程2x2＋10x＋12＝0的根？

－4，－3，－2，－1，0，1，2，3，4.

解：将上面的这些数代入后，只有－2和－3满足等式，所以x＝－2或x

＝－3是一元二次方程2x2＋10x＋12＝0的两根．

点拨精讲：要判定一个数是否是方程的根，只要把这个数代入等式，看等式两边是否相等即可．

二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思

路．(9分钟)

判断下列方程是否为一元二次方程．(1)1－x2＝0; (2)2(x2－1)＝3y；

1 2

(3)2x2－3x－1＝0; (4)x2－x＝0；

(5)(x＋3)2＝(x－3)2; (6)9x2＝5－4x.

解：(1)是；(2)不是；(3)是；

(4)不是；(5