人教A版高中数学选修44教学案.docx

[核心必知]

平面直角坐标系

平面直角坐标系的作用

通过直角坐标系，平面上的点与坐标(有序实数对)、曲线与方程建立了联系，从而实现了数与形的结合．

坐标法解决几何问题的“三部曲”

第一步：建立适当坐标系，用坐标和方程表示问题中涉及的几何元素，将几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算解决代数问题；第三步：把代数运算结果翻译成几何结论．

平面直角坐标系中的伸缩变换

x′＝λ·x，（λ＞0），

设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ： 的作用y′＝μ·y，（μ＞0）

下，点P(x，y)对应到点P′(x′，y′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．

[问题思考]

用坐标法解决几何问题时，坐标系的建立是否是唯一的？

提示：对于同一个问题，可建立不同的坐标系解决，但应使图形上的特殊点尽可能多地

落在坐标轴，以便使计算更简单、方便．

伸缩变换中的系数λ，μ有什么特点？在伸缩变换下，平面直角坐标系是否发生变化？

提示：伸缩变换中的系数λ>0，μ>0，在伸缩变换下，平面直角坐标系保持不变，只是

对点的坐标进行伸缩变换．

已知Rt△ABC，|AB|＝2a(a>0)，求直角顶点C的轨迹方程．

[精讲详析] 解答此题需要结合几何图形的结构特点，建立适当的平面直角坐标系，然后设出所求动点的坐标，寻找满足几何关系的等式，化简后即可得到所求的轨迹方程．

以AB所在直线为x轴，AB的中点为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系，则有A(－a，0)，B(a，0)，设顶点C(x，y)．

法一：由△ABC 是直角三角形可知|AB|2＝|AC|2＋|BC|2，即(2a)2＝(x＋a)2＋y2＋(x－a)2

＋y2，化简得x2＋y2＝a2.依题意可知，x≠±a.

故所求直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2＝a2(x≠±a)．

法二：由△ABC是直角三角形可知AC⊥BC，所以k

AC

y y

·k ＝－1，则 · ＝

BC x＋ax－a

－1(x≠±a)，化简得直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2＝a2(x≠±a)．

法三：由△ABC是直角三角形可知|OC|＝|OB|，且点C与点B不重合，所以 x2＋y2＝a(x≠±a)，化简得直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2＝a2(x≠±a)．

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求轨迹方程，其实质就是根据题设条件，把几何关系通过“坐标”转化成代数关系，得到对应的方程．

求轨迹方程的一般步骤是：建系→设点→列式→化简→检验．

求轨迹方程时注意不要把范围扩大或缩小，也就是要检验轨迹的纯粹性和完备性．(3)由于观察的角度不同，因此探求关系的方法也不同，解题时要善于从多角度思考问

题．

已知线段AB与CD互相垂直平分于点O，|AB|＝8，|CD|＝4，动点M满足|MA|·|MB|

＝|MC|·|MD|，求动点M的轨迹方程．

解：以O为原点，分别以直线AB，CD为x轴、y轴建立直角坐标系，则A(－4，0)，B(4，0)，C(0，2)，D(0，－2)．

设M(x，y)为轨迹上任一点，则

|MA|＝

|MC|＝

（x＋4）2＋y2，|MB|＝x2＋（y－2）2，|MD|＝

（x－4）2＋y2，x2＋（y＋2）2，

∴由|MA|·|MB|＝|MC|·|MD|，可得

[（

[（x＋4）2＋y2][（x－4）2＋y2]

＝ [x2＋（y－2）2][x2＋（y＋2）2].

化简，得y2－x2＋6＝0.

∴点M的轨迹方程为x2－y2＝6.

已知△ABC中，AB＝AC，BD、CE分别为两腰上的高．求证：BD＝CE.

[精讲详析] 本题考查坐标法在几何中的应用．解答本题可通过建立平面直角坐标系，将几何证明问题转化为代数运算问题．

如图，以BC所在直线为x轴，BC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系．

设B(－a，0)，C(a，0)，A(0，h)．

h

则直线AC的方程为y＝－x＋h，即：hx＋ay－ah＝0.a

h

直线AB的方程为y＝x＋h，

a

即：hx－ay＋ah＝0.

|2ah|

由点到直线的距离公式：|BD|＝

|2ah|

，|CE|＝ ，

a2＋h2 a2＋h2

∴|BD|＝|CE|，即BD＝CE.

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建立适当的直角坐标系，将平面几何问题转化为解析几何问题，即“形”转化为“数”，再回到“形”中，此为坐标法的基本思想，务必熟练掌握．

建立坐标系时，要充分利用图形的几何特征．例如，中心对称图形，可利用它的对称中心为坐标原点；轴对称图形，