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11.4.2平面与平面垂直

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新知初探·自主学习课堂探究·素养提升

课程标准

1.了解面面垂直的定义．(重点)2.掌握面面垂直的判定定理和性质

定理．(重点)3.灵活运用线面、面面垂直的判定定理和性质定理解

决空间中的位置关系问题．(难点)

新知初探·自主学习

知识点一平面与平面垂直

①定义：如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平

面与第三个平面相交所得的两条交线互相垂直，就称这两个平面互相

垂直．

②画法：

记作：α⊥β．

知识点二判定定理

文字语言图形语言符号语言

如果一个平面过另一

l⊥β

个平面的一条ቅ

l⊂α⇒α⊥β

垂线，则这两个

平面垂直

知识点三平面与平面垂直的性质定理

文字如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它

语言们交线的直线垂直于另一个平面

符号

语言a⊂α

图形

语言

状元随笔若定理中的“交线”改为“一条直线”，结论会是什么？

[提示]相交或平行．

[基础自测]

1．设平面α⊥平面β，在平面α内的一条直线a垂直于平面β内的一条

直线b，则()

A．直线a必垂直于平面β

B．直线b必垂直于平面α

C．直线a不一定垂直于平面βD

．过a的平面与过b的平面垂直

答案：C

解析：当α⊥β，在平面α内垂直交线的直线才垂直于平面β，因此，垂直于平面

β内的一条直线b的直线不一定垂直于β，故选C.

2．空间四边形ABCD中，若AD⊥BC，BD⊥AD，那么有()

A．平面ABC⊥平面ADC

B．平面ABC⊥平面ADB

C．平面ABC⊥平面DBC

D．平面ADC⊥平面DBC

答案：D

解析：∵AD⊥BC，AD⊥BD，BC∩BD＝B，∴AD⊥平面BCD.又∵AD⊂平面

ADC，∴平面ADC⊥平面DBC.

3．下列四个命题中，正确的序号有①②．

①α∥β，β⊥γ，则α⊥γ；②α∥β，β∥γ，则α∥γ；

③α⊥β，γ⊥β，则α⊥γ；④α⊥β，γ⊥β，则α∥γ.

解析：③④不正确，如图所示，

α⊥β，γ⊥β，但α，γ相交且不垂直．

4．平面α⊥平面β，α∩β＝l，n⊂β，n⊥l，直线m⊥α，则直线m与n

的位置关系是．

答案：平行

解析：因为α⊥β，α∩β＝l，n⊂β，n⊥l，

所以n⊥α.又m⊥α，所以m∥n.

课堂探究·素养提升

题型一平面与平面垂直的判定

例1如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周

上异于A、B的任意一点，求证：平面PAC⊥平面PBC.

【证明】连接AC，BC，

则BC⊥AC，又PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，

∴PA⊥BC，而PA∩AC＝A，

∴BC⊥平面PAC，

又BC⊂平面PBC，

∴平面PAC⊥平面PBC.

方法归纳