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函数极限与导数基础

函数极限与导数基础

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1．数学归纳法：

(1)由特殊事例得出一般结论的归纳推理方法，通常叫做归纳法.

归纳法包含不完全归纳法和完全归纳法.

①不完全归纳法:根据事物的部分(而不是全部)特殊事例得出一般结论的推理方法.

②完全归纳法:根据事物的所有特殊事例得出一般结论的推理方法

数学归纳法常与不完全归纳法结合起来使用,用不完全归纳法发现规律,用数学归纳法证明结论.

(2)数学归纳法步骤:

①验证当取第一个时结论成立;

②由假设当（）时,结论成立，证明当时,结论成立;

根据①②对一切自然数时，都成立.

2.数列的极限

(1)数列的极限定义:如果当项数无限增大时,无穷数列的项无限地趋近于某个常数(即无限地接近于),那么就说数列以为极限,或者说是数列的极限.记为或当时，.

(2)数列极限的运算法则:如果、的极限存在，且，

那么；

特别地，如果C是常数，那么.

⑶几个常用极限:①（为常数）②（均为常数且）

③

④首项为，公比为（）的无穷等比数列的各项和为.

注：⑴并不是每一个无穷数列都有极限.

⑵四则运算法则可推广到任意有限个极限的情况，但不能推广到无限个情况.

例1.某个命题与正整数有关，若当时该命题成立，那么可推得当时该命题也成立，现已知当时该命题不成立，那么可推得（）

(A)当时，该命题不成立(B)当时，该命题成立

(C)当时，该命题成立(D)当时，该命题不成立

例2.用数学归纳法证明:“”在验证时，左端计算所得的项为()(A)1(B)(C)(D)

例3.等于()(A)2(B)－2(C)－(D)

例4.等差数列中，若存在，则这样的数列()

(A)有且仅有一个(B)有无数多个 (C)有一个或无穷多个 (D)不存在

例5.等于()(A)(B)0(C)(D)不存在

例6.若，，则()(A)(B)(C)(D)

例7.在二项式和的展开式中，各项系数之和记为是正整数，则=.

例8.已知无穷等比数列的首项，公比为，且，且，则_____.

例9.已知数列{}前n项和,其中b是与n无关的常数，且0＜b＜1，若存在，则________．

例10.若数列{}的通项，设数列{}的通项，又记是数列{}的前n项的积．

（Ⅰ）求，，的值；（Ⅱ）试比较与的大小，并证明你的结论．

例1.D2.C例3.A例4.A例5.C将分子局部有理化，原式=例6.A例7.例8.例9.1例10(见后面)

函数的极限及函数的连续性

1.函数的极限

(1)函数的六种极限定义:

①的意义是当自变量取正值并且无限增大时,无限趋进于一个常数;

②的意义是当自变量取负值并且绝对值无限增大时,无限趋进于一个常数;

③都存在,且等于;

④的意义是当自变量从右侧(即)无限趋近于常数（但不等于）时，如果函数无限趋近于一个常数;

⑤的意义是当自变量从右侧(即)无限趋近于常数（但不等于）时，如果函数无限趋近于一个常数;

⑥的意义是当自变量无限趋近于常数（但不等于）时，如果函数无限趋近于一个常数;注:,都存在,且等于;

(2)函数极限的运算法则:如果,存在,且,

那么,,.这些法则对于其他情况仍然成立.

⑶几个常用极限：

①；②（0＜＜1）;（＞1）③

2.函数的连续性:

(1)定义:如果函数在点处及其附近有定义,而且,就说函数在点处连续.

(2)函数在点处连续的充要条件是.注:等式的含义有三点:①在点处及其附近有定义;②存在;

③在点处的极限值等于这一点的函数值.

(3)“函数在点处不连续”就说的图象在点处间断.

(4)函数在区间上连续:

①若函数在开区间内每一点处连续,就说函数在开区间内连续;②若函数在开区间内每一点处连续,并且,就说函数在闭区间上连续.

(5)初等函数在其定义域内每一点处都连续.

(6)连续函数的性质:闭区间上的连续函数的图象是坐标平面上的一条有始点和终点的连续曲线.它有如下性质:

①(最大值和最小值定理)若是闭区间上的连续函数,则在闭区间上有最大、最小值.

②零点定理：若是闭区间上的连续函数,且,则方程在区间上至少有一个实数解.

③介值定理：设函数在闭区间上连续，且在这区间的端点取不同函数值，，那么对于之间任意的一个数，在开区间内至少有一点，使得（＜＜）.

函数的极限及函数的连续性

例11.

例12.()(A) (B)1 (C)2 (D)0

例