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7.3 平行线的判定
第一环节:情景引入活动内容:
回顾两直线平行的判定方法
师:前面我们探索过直线平行的条件.大家来想一想:两条直线在什么情况下互相平行呢?
生1:在同一平面内,不相交的两条直线就叫做平行线.
生2:两条直线都和第三条直线平行,则这两条直线互相平行.
生3:同位角相等两直线平行;内错角相等两直线平行;同旁内角互补两直线平行.
师:很好.这些判定方法都是我们经过观察、操作、推理、交流等活动得到的.
上节课我们谈到了要证实一个命题是真命题.除公理、定义外,其他真命题都需要通过推理的方法证实.
我们知道:“在同一平面内,不相交的两条直线叫做平行线”是定义.“两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行”是公理.那其他的三个真命题如何证实呢?这节课我们就来探讨.
活动目的:
回顾平行线的判定方法,为下一步顺利地引出新课埋下伏笔.教学效果:
由于平行线的判定方法是学生比较熟悉的知识,教师通过对话的形式,可以使学生很快地回忆起这些知识.
第二环节:探索平行线判定方法的证明活动内容:
①证明:两条直线被第三条直线所截,如果同旁内角互补,那么这两条直线平行.
师:这是一个文字证明题,需要先把命题的文字语言转化成几何图形和符号
语言.所以根据题意,可以把这个文字证明题转化为下 列
12
1
2
3
a
b
形式:
如图,已知,∠1和∠2是直线a、b被直线c截出的同旁内角,且∠1与∠2互补,求证:a∥b.
如何证明这个题呢?我们来分析分析.
师生分析:要证明直线a与b平行,可以想到应用平行线的判定公理来证明.这时从图中可以知道:∠1与∠3是同位角,所以只需证明∠1=∠3,则a与b即平行.
因为从图中可知∠2与∠3组成一个平角,即∠2+∠3=180°,所以:∠3=180°-∠2.又因为已知条件中有∠2与∠1互补,即:∠2+∠1=180°,所以
∠1=180°-∠2,因此由等量代换可以知道:∠1=∠3.
师:好.下面我们来书写推理过程,大家口述,老师来书写.(在书写的同时说明:符号“∵”读作“因为”,“∴”读作“所以”)
证明:∵∠1与∠2互补(已知) ∴∠1+∠2=180°(互补定义)
∴∠1=180°-∠2(等式的性质)∵∠3+∠2=180°(平角定义)
∴∠3=180°-∠2(等式的性质)
∴∠1=∠3(等量代换)
∴a∥b(同位角相等,两直线平行)
这样我们经过推理的过程证明了一个命题是真命题,我们把这个真命题称为:直线平行的判定定理.
这一定理可简单地写成:同旁内角互补,两直线平行.
注意:(1)已给的公理,定义和已经证明的定理以后都可以作为依据.用来证明新定理.(2)证明中的每一步推理都要有根据,不能“想当然”.这些根据,可以是已知条件,也可以是定义、公理,已经学过的定理.在初学证明时,要求把根据写在每一步推理后面的括号内.
②证明:内错角相等,两直线平行.
师:小明用下面的方法作出了平行线,你认为他的作法对吗?为什么?(见相关动画)
生:我认为他的作法对.他的作法可用上图来表示:∠CFE=45°,∠BEF=45°.因为∠BEF 与∠FEA 组成一个平角,所以∠FEA=180°-∠BEF=180°-45°
=135°.而∠CFE与∠FEA是同旁内角.且这两个角的和为180°,因此可知:
CD∥AB.
师:很好.从图中可知:∠CFE与∠FEB是内错角.因此可知:“内错角相等,两直线平行”是真命题.下面我们来用规范的语言书写这个真命题的证明过程.师生分析:已知,∠1和∠2是直线a、b被直线c截出的内错角,且∠1=∠2.
求证:a∥b
证明:∵∠1=∠2(已知) ∠1+∠3=180°(平角定义)
∴∠2+∠3=180°(等量代换) ∴∠2与∠3互补(互补的定义)
∴a∥b(同旁内角互补,两直线平行).
这样我们就又得到了直线平行的另一个判定定理:内错角相等,两直线平行.
③借助“同位角相等,两直线平行”这一公理,你还能证明哪些熟悉的结论呢?生1:已知,如图,直线a⊥c,b⊥c.求证:a∥b.
证明:∵a⊥c,b⊥c(已知)
∴∠1=90°∠2=90°(垂直的定义)
∴∠1=∠2(等量代换)
∴b∥a(同位角相等,两直线平行)
生2:由此可以得到:“如果两条直线都和第三条直线垂直,那么这两条直线平
行”的结论.
师:同学们讨论得真棒.下面我们通过练习来熟悉掌握直线平行的判定定理.活动目的:
通过对学生熟悉的平行线判定的证明,使学生掌握平行线判定公理推导出的另两个判定定理,并逐步掌握规范的推理格式.
教学效果:
由于学生有了以前学习过的相关知识,对几何证明题的格式有所了解,今天的学习只不过是将原来
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