圆锥曲线二级结论大全及证明过程简单.pdf

【前言】

圆锥曲线是高等数学中的一个重要概念，广泛应用于物理、工程、几

何等各个领域。在学习圆锥曲线的过程中，掌握其二级结论以及相应

的证明过程是非常重要的，可以帮助我们深入理解圆锥曲线的性质和

特点。本文将对圆锥曲线的二级结论进行全面总结，并给出简单的证

明过程，以帮助读者更好地掌握这一知识点。

【一、椭圆的二级结论及证明】

1.椭圆的定义和性质

椭圆是平面上一点到两个定点的距离之和为常数的轨迹，具有如下的

性质：

（1）椭圆的离心率小于1；

（2）椭圆是凸曲线，任何一条与椭圆相交的直线最多有两个交点；

（3）椭圆的两个焦点到任意一点的距离之和等于椭圆的长轴长度。

2.椭圆的二级结论

（1）椭圆的焦点到椭圆上任意一点的切线长度之和等于椭圆的长轴长

度。

证明：设椭圆的方程为$

rac{x^2}{a^2}+

rac{y^2}{b^2}=1$，其中

$a$为长轴的一半，$b$为短轴的一半。设椭圆上一点为$P(x_0,y_0)$，

过点$P$作椭圆的切线，设切点为$Q(x,y)$，则切线的斜率为

$k=

rac{y_0}{x_0}$。椭圆的斜率为$

rac{dy}{dx}=-

。切线的方程为$y-y_0=-

。设椭圆的焦点为

$F_1(-c,0)$和$F_2(c,0)$，其中$c^2=a^2-b^2$，则焦点$F_1$到点

$P$的距离为，焦点$F_2$到点

$P$的距离为。根据切线的性质，焦

点到切点的距离之和等于椭圆的长轴长度，即$d_1+d_2=2a$。

（2）椭圆上两点到椭圆的两个焦点的距离之和相等。

证明：设椭圆上两点分别为$P_1(x_1,y_1)$和$P_2(x_2,y_2)$，椭圆的

焦点为$F_1(-c,0)$和$F_2(c,0)$。则

$F_1P_1+F_2P_1+F_1P_2+F_2P_2=2a$。

【二、双曲线的二级结论及证明】

1.双曲线的定义和性质

双曲线是平面上一点到两个定点的距离之差为常数的轨迹，具有如下

的性质：

（1）双曲线的离心率大于1；

（2）双曲线有两条渐近线，渐近线与双曲线无穷远处相切；

（3）双曲线的两个焦点到任意一点的距离之差等于双曲线的实轴长度。

2.双曲线的二级结论

（1）双曲线的焦点到双曲线上任意一点的切线长度之差等于双曲线的

实轴长度。

证明：设双曲线的方程为$

rac{x^2}{a^2}-

rac{y^2}{b^2}=1$，其

中$a$为实轴的一半，$b$为虚轴的一半。设双曲线上一点为

$P(x_0,y_0)$，过点$P$作双曲线的切线，设切点为$Q(x,y)$，则切线

的斜率为$k=

rac{y_0}{x_0}$。双曲线的斜率为

。切线的方程

为。设双曲线

的焦点为$F_1(-c,0)$和$F_2(c,0)$，其中$c^2=a^2+b^2$，则焦点

$F_1$到点$P$的距离为，焦点

$F_2$到点$P$的距禗为。根据切线

的性质，焦点到切点的距离之差等于双曲线的实轴长度，即

。

（2）双曲线上两点到双曲线的两个焦点的距离之差相等。

证明：设双曲线上两点分别为$P_1(x_1,y_1)$和$P_2(x_2,y_2)$，双曲

线的焦点为$F_1(-c