排列组合知识点与方法归纳.docx

排列组合

一、知识网络二、高考考点

1、两个计数原理的掌握与应用；

2、关于排列与组合的定义的理解；关于排列与组合数公式的掌握；关于组合数两个性质的掌握；

3、运用排列与组合的意义与公式解决简单的应用问题（多为排列与组合的混合问题）三、知识要点

一．分类计数原理与分步计算原理

分类计算原理（加法原理）：

完成一件事，有n类办法，在第一类办法中有m

1

种不同的方法，在第二类办法中有m

2

种不同的方法，……，在第n类办法中有m种不同的方法，那么完成这件事共有N=m+m+…+m

n

种不同的方法。

分步计数原理（乘法原理）：

1 2 n

完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m

1

种不同的方法，做第2步有m

2

种不同

的方法，……，做第n步有m

n

的方法。

种不同的方法，那么完成这件事共有N=m×m×…×m

1 2 n

种不同

3、认知：

上述两个原理都是研究完成一件事有多少种不同方法的计数依据，它们的区别在于，加法原理的要害是分类：将完成一件事的方法分成若干类，并且各类办法以及各类办法中的各种方法相互独立，运用任何一类办法的任何一种方法均可独立完成这件事；乘法原理的要害是分步：将完成一件事分为若干步骤进行，各个步骤不可缺少，只有当各个步骤依次完成后这件事才告完成（在这里，完成某一步的任何一种方法只能完成这一个步骤，而不能独立完成这件事）。

二．排列

定义

从n个不同元素中取出m（n个不同元素中取出m个元素的一排列。

）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从

从n个不同元素中取出m（ ）个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同

元素中取出m个元素的排列数，记为 .

排列数的公式与性质

（1）排列数的公式： =n（n-1）（n-2）…（n-m+1）= 特例：当m=n

时， =n！=n（n-1）（n-2）…×3×2×1

规定：0！=1

（2）排列数的性质：

（Ⅰ）列数的联系）

= （排列数上标、下标同时减1（或加1）后与原排

（Ⅱ） （排列数上标加1或下标减1后与原排列数的

联系）

（Ⅲ） （分解或合并的依据）

三．组合

定义 （1）从n个不同元素中取出素中取出m个元素的一个组合

个元素并成一组，叫做从n个不同元

（2）从n个不同元素中取出素中取出m个元素的组合数，用符号

组合数的公式与性质

表示。

个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元

组合数公式： （乘积表示）

（阶乘表示） 特例：

组合数的主要性质：

（Ⅰ） （上标变换公式）

（Ⅱ） （杨辉恒等式）

认知：上述恒等式左边两组合数的下标相同，而上标为相邻自然数；合二为一后的右边组合数下标等于左边组合数下标加1，而上标取左边两组合数上标的较大者。

比较与鉴别

由排列与组合的定义知，获得一个排列需要“取出元素”和“对取出元素按一定顺序排成一列”两个过程，而获得一个组合只需要“取出元素”，不管怎样的顺序并成一组这一个步骤。

排列与组合的区别在于组合仅与选取的元素有关，而排列不仅与选取的元素有关，而且还与取出元素的顺序有关。因此，所给问题是否与取出元素的顺序有关，是判断这一问题是排列问题还是组合问题的理论依据。

注意到获得（一个）排列历经“获得（一个）组合”和“对取出元素作全排列”两个步骤，故得排列数与组合数之间的关系：

四、经典例题

例1、某人计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60、70元的单片软件和盒装磁盘，要求软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式是（）

A.5种 B.6种 C.7种 D.8种

分析：依题意“软件至少买3片，磁盘至少买2盒”，而购得3片软件和2盒磁盘花

去320元，所以，只需讨论剩下的180元如何使用的问题。

解：注意到购买3片软件和2盒磁盘花去320元，所以，这里只讨论剩下的180元如何使用，可从购买软件的情形入手分类讨论： 第一类，再买3片软件，不买磁盘，只有1种方法； 第二类，再买2片软件，不买磁盘，只有1种方法；

第三类，再买1片软件，再买1盒磁盘或不买磁盘，有2种方法；第四类，不买软件，再买2盒磁盘、1盒磁盘或不买磁盘，有3种方法； 于是由分类计数原理可知，共有N=1+1+2+3=7种不同购买方法，应选C。

例2、已知集合M={-1，0，1}，N={2，3，4，5}，映射 ，当x∈M时，

为奇数，则这样的映射 的个数是（ ） A.20 B.18

C.32 D.24

分析：由映射定义知，当x∈M时，