排列组合问题的解题方法及技巧的总结.docx

学员 数学 科目第次个性化教案

授课时间学员年级课时总数

高二

共 课时

教师课题名称教育顾问

备课时间

排列组合问题的解题策略学管

邱老师

教学目标

教学重点教学难点

1、两个计数原理的掌握与应用；

2、关于排列与组合的定义的理解；关于排列与组合数公式的掌握；关于组合数两个性质的掌握；

3、运用排列与组合的意义与公式解决简单的应用问题（多为排列与组合的混合问题）

1、两个计数原理的掌握与应用；

2、关于排列与组合的定义的理解；关于排列与组合数公式的掌握；关于组合数两个性质的掌握；运用排列与组合的意义与公式解决简单的应用问题（多为排列与组合的混合问题）

教师活动

一、作业检查与评价（第一次课程）

二、复习导入

排列组合问题联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，因此解决排列组合问题，首先要认真审题，弄清楚是排列问题、组合问题还是排列与组合综合问题；其次要抓住问题的本质特征，采用合理恰当的方法来处理。

三、容讲解

分类计数原理(加法原理)

完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有m

1

种不同的方法，在第2类办法中有m

2

种不同的

方法，…，在第n类办法中有m

n

种不同的方法，那么完成这件事共有：

种不同的方法．

分步计数原理（乘法原理）

N?m?m

1 2

?m

n

教学过程

完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m

1

种不同的方法，做第2步有m

2

种不同的方法，…，

做第n步有m

n

种不同的方法，那么完成这件事共有：

种不同的方法．

分类计数原理分步计数原理区别

N?m?m

1 2

?m

n

分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。

分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件．解决排列组合综合性问题的一般过程如下:

认真审题弄清要做什么事

怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。

确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素.

解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略

排列组合问题的解题策略

一、相临问题——捆绑法

例1．7名学生站成一排，甲、乙必须站在一起有多少不同排法？

解：两个元素排在一起的问题可用“捆绑”法解决，先将甲乙二人看作一个元素与其他五人进行排列，并考虑甲乙二人的顺序，所以共有种。

评注：一般地:n站成一排,其中某m个人相邻,可用“捆绑”法解决，共有AN?MAM种排法。

N?M M

练习：5个男生3个女生排成一排,3个女生要排在一起,有多少种不同的排法?

二、不相临问题——选空插入法

例2．7名学生站成一排，甲乙互不相邻有多少不同排法？

解：甲、乙二人不相邻的排法一般应用“插空”法，所以甲、乙二人不相邻的排法总数应为：A2A5

6 5

种.

插入法:对于某两个元素或者几个元素要求不相邻的问题,可以用插入法.即先排好没有限制条件的元素,然后将有限制条件的元素按要求插入排好元素的空档之中即可.若N个人站成一排，其中M个人

不相邻，可用“插空”法解决，共有种排法。

练习：学校组织老师学生一起看电影，同一排电影票12。8个学生，4个老师，要求老师在学生中间，且老师互不相邻，共有多少种不同的坐法？

分析此题涉及到的是不相邻问题,并且是对老师有特殊的要求,因此老师是特殊元素,在解决时就要特殊对待.所涉及问题是排列问题.

解先排学生共有种排法,然后把老师插入学生之间的空档，共有7个空档可插,选其中的4个空档,共有种选法.根据乘法原理,共有的不同坐法为种.

三、复杂问题--总体排除法或排异法

有些问题直接法考虑比较难比较复杂，或分类不清或多种时，而它的反面往往比较简捷，可考虑用

“排除法”，先求出它的反面,再从整体中排除.解决几何问题必须注意几何图形本身对其构成元素的限制。

例3.(1996年全国高考题)正六边形的中心和顶点共7个点，以其中3个点为顶点的三角形共有个.解：从7个点中取3个点的取法有种，但其中正六边形的对角线所含的中心和顶点三点共线不能组成三角形，有3条，所以满足条件的三角形共有－3＝32个.

练习：我们班里有43位同学,从中任抽5人,正、副班长、团支部书记至少有一人在的抽法有多少种?

分析此题若是直接去考虑的话,就要将问题分成好几种情况,这样解题的话,容易造成各种情况遗漏或者重复的情况.而如果从此问题相反的方面去考虑的话,不但容易理解,而且在计算中也是非常的简便.这样就可以简化计算过程.

解