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第11讲拓展四:导数中的隐零点问题(精讲)
第一部分:知识点必背
1、不含参函数的隐零点问题
已知不含参函数,导函数方程的根存在,却无法求出,设方程的根为,则有:
①关系式成立;②注意确定的合适范围.
2、含参函数的隐零点问题
已知含参函数,其中为参数,导函数方程的根存在,却无法求出,设方程的根为,则有①有关系式成立,该关系式给出了的关系;②注意确定的合适范围,往往和的范围有关.
3、函数零点的存在性
(1)函数零点存在性定理:设函数在闭区间上连续,且,那么在开区间内至少有函数的一个零点,即至少有一点,使得.
①若,则的零点不一定只有一个,可以有多个
②若,那么在不一定有零点
③若在有零点,则不一定必须异号
(2)若在上是单调函数且连续,则在的零点唯一.
第二部分:高频考点一遍过
典型例题
例题1.(2023春·四川成都·高二校考阶段练习)已知函数.
(1)求函数的单调区间;
(2)若不等式恒成立,求实数的取值范围.
例题2.(2023·江西南昌·统考一模)已知函数.
(1)若时,函数有2个极值点,求的取值范围;
(2)若,,方程有几个解?
例题3.(2023·青海西宁·统考一模)已知函数.
(1)若,证明:存在唯一的极值点.
(2)若,求的取值范围.
例题4.(2023·上海·高三专题练习)已知函数.
(1)设,求在上的最大值;
(2)当时,求证:.
例题5.(2023秋·山东青岛·高二青岛二中校考期末)已知函数,.
(1)当时,求函数在点处的切线方程;
(2)设,若,,都有,求实数的取值范围.
练透核心考点
1.(2023秋·浙江杭州·高二杭州高级中学校考期末)已知函数(k为常数,且).
(1)当时,求在处的切线方程;
(2)若函数在区间上存在极值,求实数k的取值范围.
2.(2023·贵州·校联考二模)已知函数.
(1)求曲线在点处的切线方程;
(2)讨论在上的单调性.
3.(2023春·湖北·高二校联考阶段练习)已知函数
(1)若,求的极小值;
(2)讨论函数的单调性;
(3)当时,恒成立,求的最大整数值.
4.(2023秋·天津·高三统考期末)设函数,,,已知曲线在点处的切线与直线垂直.
(1)求a的值;
(2)求的单调区间;
(3)若对成立,求b的取值范围.
5.(2023春·宁夏·高三六盘山高级中学校考开学考试)已知函数.
(1)若,求的极小值.
(2)讨论函数的单调性;
(3)当时,证明:有且只有个零点.
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