排列组合的二十种解法.docx

排列组合的二十种解法(最全的排列组合方法总结)

教学目标

进一步理解和应用分步计数原理和分类计数原理。

掌握解决排列组合问题的常用策略;能运用解题策略解决简单的综合应用题。提高学生解决问题分析问题的能力

学会应用数学思想和方法解决排列组合问题.复习巩固

分类计数原理(加法原理)

12完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有m种不同的方法，在第2类办法中有m种不同的方法，…，在第n类办法中有m种不同的方法，那么完成这件事

1

2

n

共有：

N?

N?m?m?

1

2

m

n

分步计数原理（乘法原理）

12完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有m种不同的方法，…，做第n步有m种不同的方法，那么完成这件事共有：

1

2

N?

N?m?m?

1

2

m

n

种不同的方法．

分类计数原理分步计数原理区别

分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。

分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事

件的一个阶段，不能完成整个事件．

解决排列组合综合性问题的一般过程如下:

认真审题弄清要做什么事

怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行 ,确定分多少步及多少类。

确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素.

解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略

一.特殊元素和特殊位置优先策略

例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.

解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免

不合要求的元素占了这两个位置.先排末位共有

3C1

3

然后排首位共有C1

4

C1 A3 C1

4 4 3

A

A3

4由分步计数原理得

4

C1C1A3

288

4 3 4

位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最

位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最

常用也是最基本的方法,若以元素分析为主,需先

练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？

二.相邻元素捆绑策略

例2.7人站成一排,其中甲乙相邻且丙丁相邻,共有多少种不同的排法.

解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元

素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。由分步计数原理可得共有心心A;=480种不同的排法

0 0 三三0

要求某几个元素必须排在一起的问题，可以用

练习题：某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3

枪连在一起的情形的不同种数为 20

三．不相邻问题插空策略

例3．一个晚会的节目有4个舞蹈，2个相声，3个独唱，舞蹈节目不能连续出场，则节目的出场顺序有多少种？

解：分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有4种，第二步将4舞蹈插入第一步排好的6个元素中间包含首尾两个空位共有种A:不同的方法，由分步计数原理，节目的不同顺序共有卢：种

I二丰妇亩l,习瞄可庄如迅六J＊罗西忐呫二宰I

练习题：某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目．如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为30

四．定序问题倍缩空位插入策略

例4.7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不

同的排法

是：解:(倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一起进行排列,然后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数,则共有不同排法种数

是：

A7/A3

7 3

(空位法)设想有7把椅子让除甲乙丙以外的四人

A4就坐共有 种方法，

A4

7

丙共有1种坐法，则共有 种方法。

A47

A4

思考:可以先让甲乙丙就坐吗?

定序问题可以用倍缩（插入法)先排甲乙丙三个人,共有1种排法,再把其余4四人依次插入共有 方法

定序问题可以用倍缩

练习题:10人身高各不相等,排成前后排，每排5人,要求从左至右身高逐渐增加，共有多少排法？

10C5

10

五.重排问题求幂策略

例5.把6名实习生分配到7个车间实习,共有多少种不同的分法

解:完成此事共分六步:把第一名实习生分配到车间有7种分法.把第二名实习生分配到车间也有 7种分依此类推,由分步计数原理共有76种不同的排法

允许重复的排列问题的特点是以元素为研究对象，

允许重复的排列问题的特点是以元素为研究对象，

元素不受位置的约束，可以逐一安排各个元素的位

练习题