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排列组合常见21种解题方法

排列组合难题二十一种方法

排列组合问题联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，因此解决排列组合问题，首先要认真审题，弄清楚是排列问题、组合问题还是排列与组合综合问题；其次要抓住问题的本质特征，采用合理恰当的方法来处理。

教学目标

进一步理解和应用分步计数原理和分类计数原理。

掌握解决排列组合问题的常用策略;能运用解题策略解决简单的综合应用题。提高学生解决问题分析问题的能力

学会应用数学思想和方法解决排列组合问题.复习巩固

分类计数原理(加法原理)

完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有m种不同的方法，在第2

1

类办法中有m种不同的方法，…，在第n类办法中有m

2 n

种不同的方法，

那么完成这件事共有：

N?

N?m?m?

1

2

m

n

分步计数原理（乘法原理）

完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m

1

种不同的方法，做第2

步有m种不同的方法，…，做第n步有m

2 n

种不同的方法，那么完成这件

N?

N?m?m?

1

2

m

n

种不同的方法．

分类计数原理分步计数原理区别

分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完

成整个事件．

解决排列组合综合性问题的一般过程如下:

认真审题弄清要做什么事

怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。

确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素.

解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略

一.特殊元素和特殊位置优先策略

例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.

2

解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置.

先排末位共有C1

3

然后排首位共有C1

4

最后排其它位置共有A3

4

由分步计数原理得C1C1A3

?288

C1 A3 C1

4 3 4

4 4 3

位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法,若以元素分析为主,需先

位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最

常用也是最基本的方法,若以元素分析为主,需先

练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？

二.相邻元素捆绑策略

例2.7人站成一排,其中甲乙相邻且丙丁相邻,共有多少种不同的排法.解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一

个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。

由分步计数原理可得共有A5A2A2?480种不同的排法

甲乙丙丁5 2 2

甲乙

丙丁

要求某几个元素必须排在一起的问题,可以用

要求某几个元素必须排在一起的问题,可以用

练习题:某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的

不同种数为 20

三.不相邻问题插空策略

例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？

解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有A5种，第二步将4舞蹈插

5

入第一步排好的6个元素中间包含首尾两个空位共有种A4不同的方法,

6

由分步计数原理,节目的不同顺序共有A5A4 种

5 6

元素相离问题可先把没有位置要求的元素

元素相离问题可先把没有位置要求的元素

练习题：某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为30

四.定序问题倍缩空位插入策略

3

例4.7人排队，其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法

解：（倍缩法）对千某几个元素顺序一定的排列问题，可先把这几个元素与其他元素一起进行排列，然后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数，则共有不同排法种数是：A;/A

（空位法）设想有7把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共A有冲种方法，其余的三个位置甲乙丙共有」一种坐法，则共A冲有种方法。

思考：可以先让甲乙丙就坐吗？

（插入法）先排甲乙丙三个人，共有1种排法，再把其余4四人依次插入共

有 方法

I土 申 i习 缅 寸 I、I m应 磕 I

练习题：10人身高各不相等，排成前后排，每排5人，要求从左至右身高逐渐增加，共有多少排法？

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五．重排问题求幕策略

例5．把6名实习生分配到7个车间