第8章-最优消费投资决策连续时间解析.ppt

互助基金定理：定理2.2.1（两基金分离或者互助基金）如果连续决策的投资者面对不变投资机会集，他们会把财富在两种资产或者资产组合上做出分配，一种是无风险借贷，另一种是切点资产组合。说明：这是马科维茨-托宾分离定理的连续时间版本，但是它不需要倍受争议的二次效用形式和资产收益呈椭圆分布的假定。因此不变的投资机会集，是保证连续时间投资者像单一时期按照均方效率原则行动的风险厌恶投资者一样决策的充要条件。一般情形：假定上述关于对数效用函数和不变投资机会集的要求均不成立，则最优资产组合为因此V-1?j确实代表了那些可以对投资机会集变化（Sj变化）进行对冲（hedging）的资产组合，它本质上是一个逆对经济风险jS的最佳保值方案。投资者持有这些对冲资产组合的数量由系数(-JjW/WJWW)决定，因此投资者对那些可以对经济风险（状态变量）的意外变化进行保值的对冲资产组合，具有额外的需求。这是（连续时间）跨期动态决策最富有特色的部分，也是它与静态决策最大的区别所在。wH中包含了m种可以对m个状态变量进行保值的对冲基金。这样就有新的m+2助基金定理定理2.2.2（m+2互助基金）如果投资者面对受状态变量影响的投资机会集，则他们会把财富在m+2种资产或者资产组合上做出分配，一种是无风险借贷，另一种是切点资产组合，其他是m种能够对于状态变量变化提供最佳保值的对冲资产组合。说明：这种基金组合确实复制了那种由原始的n+1种资产构成的最优资产组合。它不依赖于投资者偏好、财富水平，因此每一个投资者都可以通过投资这m+2种基金来获得最优资产组合。如果m≥n+1，则该定理意义不大；但如果mn，则这m+2种基金对可交易证券品种提供了非平凡的扩展（spanning）功能。为了比较静态决策和动态问题的差异，可以进一步分析那些扩展出的证券的特征。我们已经知道第1和2号基金是静态最优化中的普通基金，而跨期行为的标志就在其余的第2+m号基金上。结论：最优资产选择比例w*是独立于财富水平、消费决策、甚至时间的一个常数。它是由投资机会（市场参数?、?和r）决定的，这与在考察静态资产选择问题时获得的相应结论很相似。而消费水平则取决于财富水平，这与前面离散时间模型的结论是一致的。假定投资者决定不留任何遗产，而且效用函数采用HRHA形式解得结论：风险资产的需求与财富之间存在线性关系，而且HARA族函数是惟一能够体现这种线性关系的凹的效用函数。多种资产：n维几何布朗运动把上述关于两种资产的结论，推广到多种资产情形并不很复杂。只需要假定2修改为：市场上有n+1种资产，第0种仍然是收益为r的无风险资产，其他n种为风险资产，它们的价格运动遵循n维几何布朗运动：结论：对于风险证券的最优需求w*是线性的，用矩阵求逆来解出它，得到：最优资产组合决策仍然是独立于消费决策的。重写一阶条件，有：为了获得显性解，仍然要假定效用函数采用下面的形式：无限时间情形一般情形：伊藤过程问题的描述：前面一直假定风险资产的价格遵循几何布朗运动。这也就是说，任意风险资产的瞬间收益率恒为?且方差为?2。但是这往往是不现实的，在实际生活中?和?2常常是其他外生变量的函数。一般情形：假定风险资产的价格运动遵循伊藤扩散过程，即这些定义形式上类似于几何布朗运动的情况，但关键的差异在于——这里的风险资产的期望收益和方差是外生的新自变量（向量）S的函数。而S就是在离散时间情况下，所定义的状态变量。如何决定这些状态变量是一个经验的问题。状态变量是全部外生经济风险的体现，它完全决定了投资者面对的投资机会集合。尽管直接效用函数Ui[C(t),t]是状态独立的，间接效用函数J[W(t),S(t),t]现在是状态依存的了。上式仍然要满足非负消费和非负财富的隐性约束。用HJB方程对C和w求导，可以得到n+1个一阶最优条件：

互助基金定理如何理解该最优资产组合的经济意义呢？可以把（2-108）式右边分解为两个独立的部分：先考虑第二部分即第二项等于0的情形，下列情形可能会导致第二项为0。（1）投资机会集方面。这又有两种情况：①状态变量Sj,(j=1,2,m)的变化是非随机的，这样就有gj=0,(j=0,1,2,m）；②在整个投资期间内市场参数——风险资产收益率、方差、协方差和无风险资产收益率，都独立于状态变量S(t)，即?ij=0。这两种情况下，都会使得?=0，从而使等（2-108）式的第二项为0，这被统称为不变投资机会集（constantinvestmentopportunityset）。（2）效用函数方面。如果投资者引至效用函数