高一数学平面向量知识点及典型例题解析.docx

高一数学 第八章平面向量

第一讲向量的概念与线性运算一．【要点精讲】1．向量的概念

①向量：既有大小又有方向的量。几何表示法AB，a；坐标表示法a?xi

①向量：既有大小又有方向的量。几何表示法AB，a；坐标表示法a?xi?yj?(x,y)。

uur ?

向量的模（长度），记作|AB|.即向量的大小，记作｜a|。

向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小.?r②零向量：长度为0的向量，记为0，其方向是任意的，规定0平行于任何向量。（与0

向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小.

?

r

? ? ?

③单位向量｜a0｜＝1。④平行向量（共线向量）方向相同或相反的非零向量，记作a∥b

??x ?x

1

1

? ? ? ? 2

⑤相等向量记为

向量的运算

a?b

。大小相等，方向相同

(x,y

1 1

)?(x,y)

2 2

?y y

1 2

（1）向量加法：求两个向量和的运算叫做向量的加法

（1）向量加法：求两个向量和的运算叫做向量的加法.

uur

如图，已知向量a，b，在平面内任取一点A，作AB?a，BC?b，则向量AC叫做a与b

uur uur uur

的和，记作a+b，即 a+b?AB?BC?AC

Ca+bDB

C

a+b

D

B

b

a

平行四边形法则

C

b

a+b

a

三角形法则

a

b

特殊情况：

a

A (1) A

a

b

a ? b

b

a ? b

A B (2) C C A (3) B

向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加：

uur uur uur uur uur uur

AB?BC?CD?L ?PQ?QR?AR，但这时必须“首尾相连”。

r rr r

②向量减法： 同一个图中画出a?b、a?b

要点:向量加法的“三角形法则”与“平行四边形法则”

要点:向量加法的“三角形法则”与“平行四边形法则”

合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量。

向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点.三角形法则的特点是“首尾相接

向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点.

?实数与向量的积 ? ?

?

?两个向量共线定理：向量b

?

二．【典例解析】

?

与非零向量a共线?

有且只有一个实数?

，使得b= a。

题型一：向量及与向量相关的基本概念概念例1判断下列各命题是否正确

(1)零向量没有方向 (2)若

?b,则a?b

a(3)单位向量都相等 (4)向量就是有向线段

a

?

(5)两相等向量若共起点,则终点也相同 (6)若a

? ?

?b，b?

?

? ? ?

?c，则a c；

?

? ? ? ? ? ?

? ? ??? ? ?

(7)若a//b，b//c，则a//c (8)

a?b的充要条件是|a|

|b|且a//b；

(9)若四边形ABCD是平行四边形,则AB?CD,BC?DA

练习.(四川省成都市一诊)在四边形ABCD中，“A→B＝2D→C”是“四边形ABCD为梯形”的

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

题型二:考查加法、减法运算及相关运算律例2化简(AB?CD)?(AC?BD)=

练习1.下列命题中正确的是

uur uur uur uur uur

A．OA?OB?AB B．AB?BA?0

r uur r uur uur uur uur

C．0?AB?0 D．AB?BC?CD?AD

uur uur uur uur

2.化简AC?BD?CD?AB得

uur r

3．如图，D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、CA的中点，则

3．如图，D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、CA的中点，则

( )

A.A→D＋B→E＋C→F＝0 B.B→D－C→F＋D→F＝0C.A→D＋C→E－C→F＝0 D.B→D－B→E－F→C＝0

题型三:结合图型考查向量加、减法

uur uur uur uur

例3在?ABC所在的平面上有一点P，满足PA?PB?PC?AB，则?PBC与?ABC的面

积之比是(

)

1

1

2

3

A．3

B．2

C．3

D．4