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2023年高考数学模拟试卷
考生请注意:
1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内,不得在试卷上作任何标记。
2.第一部分选择题每小题选出答案后,需将答案写在试卷指定的括号内,第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.《周易》是我国古代典籍,用“卦”描述了天地世间万象变化.如图是一个八卦图,包含乾、坤、震、巽、坎、离、艮、兑八卦(每一卦由三个爻组成,其中“”表示一个阳爻,“”表示一个阴爻).若从含有两个及以上阳爻的卦中任取两卦,这两卦的六个爻中都恰有两个阳爻的概率为()
A. B. C. D.
2.一个圆锥的底面和一个半球底面完全重合,如果圆锥的表面积与半球的表面积相等,那么这个圆锥轴截面底角的大小是()
A. B. C. D.
3.如图,棱长为的正方体中,为线段的中点,分别为线段和棱上任意一点,则的最小值为()
A. B. C. D.
4.已知函数的图象如图所示,则可以为()
A. B. C. D.
5.已知函数(其中,,)的图象关于点成中心对称,且与点相邻的一个最低点为,则对于下列判断:
①直线是函数图象的一条对称轴;
②点是函数的一个对称中心;
③函数与的图象的所有交点的横坐标之和为.
其中正确的判断是()
A.①② B.①③ C.②③ D.①②③
6.已知双曲线(,)的左、右顶点分别为,,虚轴的两个端点分别为,,若四边形的内切圆面积为,则双曲线焦距的最小值为()
A.8 B.16 C. D.
7.如图,这是某校高三年级甲、乙两班在上学期的5次数学测试的班级平均分的茎叶图,则下列说法不正确的是()
A.甲班的数学成绩平均分的平均水平高于乙班
B.甲班的数学成绩的平均分比乙班稳定
C.甲班的数学成绩平均分的中位数高于乙班
D.甲、乙两班这5次数学测试的总平均分是103
8.设复数满足(为虚数单位),则复数的共轭复数在复平面内对应的点位于()
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
9.若函数为自然对数的底数)在区间上不是单调函数,则实数的取值范围是()
A. B. C. D.
10.若复数满足(是虚数单位),则的虚部为()
A. B. C. D.
11.复数,是虚数单位,则下列结论正确的是
A. B.的共轭复数为
C.的实部与虚部之和为1 D.在复平面内的对应点位于第一象限
12.已知,若,则等于()
A.3 B.4 C.5 D.6
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.如图,在矩形中,,是的中点,将,分别沿折起,使得平面平面,平面平面,则所得几何体的外接球的体积为__________.
14.在疫情防控过程中,某医院一次性收治患者127人.在医护人员的精心治疗下,第15天开始有患者治愈出院,并且恰有其中的1名患者治愈出院.如果从第16天开始,每天出院的人数是前一天出院人数的2倍,那么第19天治愈出院患者的人数为_______________,第_______________天该医院本次收治的所有患者能全部治愈出院.
15.函数的图象向右平移个单位后,与函数的图象重合,则_____.
16.的展开式中的系数为________.
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(12分)已知函数是自然对数的底数.
(1)若,讨论的单调性;
(2)若有两个极值点,求的取值范围,并证明:.
18.(12分)在极坐标系中,曲线的极坐标方程为
(1)求曲线与极轴所在直线围成图形的面积;
(2)设曲线与曲线交于,两点,求.
19.(12分)如图,在四棱锥中,四边形为正方形,平面,点是棱的中点,,.
(1)若,证明:平面平面;
(2)若三棱锥的体积为,求二面角的余弦值.
20.(12分)已知动圆经过点,且动圆被轴截得的弦长为,记圆心的轨迹为曲线.
(1)求曲线的标准方程;
(2)设点的横坐标为,,为圆与曲线的公共点,若直线的斜率,且,求的值.
21.(12分)在某外国语学校举行的(高中生数学建模大赛)中,参与大赛的女生与男生人数之比为,且成绩分布在,分数在以上(含)的同学获奖.按女生、男生用分层抽样的方法抽取人的成绩作为样本,得到成绩的频率分布直方图如图所示.
(Ⅰ)求的值,并计算所抽取样本的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);
(Ⅱ)填写下面的列联表,并判断在犯错误的概率不超过的前提下能否认为“获奖与女生、男生有关”.
女生
男生
总计
获奖
不获奖
总计
附表及公式:
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