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群理论

Grouptheory

内容回顾：

1、代数系统A,*

2、7种性质：封闭性，交换律，结合律，分配律，

消去律，吸收律，等幂律；

3、4个特出元素：单位元，逆元，零元，幂等律；

4、满同态映射下两个系统之间具有“6类保持”.

代数系统

A,*半群

群,环,域含幺半群

格与布尔代数

群（环，域）

Chapter5

群Grouptheory

§5.1半群

5.1.1半群的定义

定义：

设S,*是一个代数系统，如果*运算满足

结合律，则称S,*是一个半群。

举例：N,+,N,,Z,+,Z,,R,+，半群

N,-,N,,Z,-,不能构成半群，运算不满足结合律

§5.1半群

M(R),M(R)

举例：，n是大于等于1的正整数。实系数方阵

nn

M(R),

举例：，n是大于等于1的正整数。

n

举例：P(S),，S非空集合，是集合的对称差。P(S)幂集

AAAA所有函数

举例：,，A非空集合,是函数的复合运算。

以上系统都可以组成半群。

§5.1半群

例：假设S={a,b,c}，在S上定义运算，如

运算表给出。证明S,是半群。

abc验证运算是可结合的。

aabc(ab)c=ac=c，a(bc)=ac=c

所以(ab)c=a(bc)

babc

(ba)c=b(ac)。。。等

cabc所以运算满足结合律，S,是半群

§5.1半群

例：N,◦，在N上定义运算◦，如下：

a◦b=a+b+a*b,证明N,◦是半群；

(a◦b)◦c=(a◦b)+c+(a◦b)*ca◦(b◦c)=a+(b◦c)+a*(b◦c)

=(a+b+a*b)+c+(a+b+a*b)*c=a+(b+c+b*c)+a*(b+c+b*c)

=a+b+c+a*b+a*c+b*c+a*b*c=a+b+c+a*b+a*c+b*c+a*b*c

满足结合律a◦(b◦c)=(a◦b)◦c

◦定义如下：a◦b=a+b-a*b,如何？封闭性不一定满足

a◦(b◦c)=？

§5.1半群

5.1.1半群的定义

定义：

假设S,*是一个半群，aS，n是正整数，则

nn

a表示n个a的计算结果，即a