专题28.1锐角三角函数（知识讲解）-2021-2022学年九年级数学下册基础知识专项讲练（人教版（含答案解析）.docx

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专题28.1锐角三角函数（知识讲解）-2021-2022学年九年级数学下册基础知识专项讲练（人教版）

专题28.1锐角三角函数（知识讲解）

【学习目标】

1．结合图形理解记忆锐角三角函数定义；

2．会推算30°、45°、60°角的三角函数值，并熟练准确的记住特殊角的三角函数值；

3．理解并能熟练运用“同角三角函数的关系”及“锐角三角函数值随角度变化的规律”

【要点梳理】

要点一、锐角三角函数的概念

如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A所对的边BC记为a，叫做∠A的对边，也叫做∠B的邻边，∠B所对的边AC记为b，叫做∠B的对边，也是∠A的邻边，直角C所对的边AB记为c，叫做斜边．

锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即；

锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即；

锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即.

同理；；．

特别说明：

（1）正弦、余弦、正切函数是在直角三角形中定义的，反映了直角三角形边与角的关系，是两条线段的比值．角的度数确定时，其比值不变，角的度数变化时，比值也随之变化．

（2）sinA，cosA，tanA分别是一个完整的数学符号，是一个整体，不能写成，，，不能理解成sin与∠A，cos与∠A，tan与∠A的乘积．书写时习惯上省略∠A的角的记号“∠”，但对三个大写字母表示成的角(如∠ABC)，其正切应写成“tan∠ABC”，不能写成“tanABC”；另外，、、常写成、、．

（3）任何一个锐角都有相应的锐角三角函数值，不因这个角不在某个三角形中而不存在．

（4）由锐角三角函数的定义知：当角度在0°∠A90°间变化时，，，tanA＞0．

要点二、特殊角的三角函数值

利用三角函数的定义，可求出30°、45°、60°角的各三角函数值，归纳如下：

锐角

30°

45°

1

60°

特别说明：

（1）通过该表可以方便地知道30°、45°、60°角的各三角函数值，它的另一个应用就是：如果知道了一个锐角的三角函数值，就可以求出这个锐角的度数，例如：若，则锐角．

（2）仔细研究表中数值的规律会发现：

、、的值依次为、、，而、、的值的顺序正好相反，、、的值依次增大，其变化规律可以总结为：

①正弦、正切值随锐角度数的增大(或减小)而增大(或减小)；

②余弦值随锐角度数的增大(或减小)而减小(或增大)．

要点三、锐角三角函数之间的关系

如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°．

（1）互余关系：，

；

（2）平方关系：；

（3）倒数关系：或；

（4）商数关系：．

特别说明：

锐角三角函数之间的关系式可由锐角三角函数的意义推导得出，常应用在三角函数的计算中，计算时巧用这些关系式可使运算简便．

【典型例题】

类型一、锐角三角函数的求值策略

1．如图，的三个顶点都在边长为1的格点图上，则的值为（????）

A． B． C． D．

举一反三：

2．如图，在4×4的正方形方格中，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形顶点上，则图中∠ACB的正切值为（????）

A． B． C． D．

3．在菱形ABCD中，DE⊥AB，，BE=2，则tan∠DBE的值是．

类型二、特殊角的三角函数值的计算

4．计算：

（1）

（2）

举一反三：

5．计算：（1）

（2）

6．求下列各式的值；

（1）；

（2）．

类型三、锐角三角函数之间的关系

7．已知△ABC中的∠A与∠B满足(1－tanA)2＋＝0.

(1)试判断△ABC的形状；

(2)求(1＋sinA)2－2－(3＋tanC)0的值．

举一反三：

8．中，、都是锐角，且，，则的形状是（????）．

A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．不能确定

9．在中，(2sinA-1)2+=0，则是（????）

A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．无法确定

类型四、锐角三角函数的拓展探究与应用

10．如图，在中，，以点A为圆心，3为半径的圆与边相切于点D，与，分别交于点E和点G，点F是优弧上一点，，则的度数是（???）

A．50° B．48° C．45° D．36°

举一反三：

11．如图，在平面直角坐标系中，的顶点B在x轴的正半轴上，，点A的坐标为，将绕点О逆时针旋转，使点B的对应点落在边OA上，则的坐标为（????）

A． B． C． D．

12．如图，C,D是以AB为直径的⊙O上两点，且∠ADC＝45°，过点C作CE∥AB．

（1）请判断直线CE与⊙O的位置关系，并说明理由；

（2）若⊙O的半径为2，∠ACD＝60°，求图中阴影部分的面积．

答案第