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2023年高考数学模拟试卷
注意事项
1.考生要认真填写考场号和座位序号。
2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上,在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答;第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3.考试结束后,考生须将试卷和答题卡放在桌面上,待监考员收回。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.一个封闭的棱长为2的正方体容器,当水平放置时,如图,水面的高度正好为棱长的一半.若将该正方体绕下底面(底面与水平面平行)的某条棱任意旋转,则容器里水面的最大高度为()
A. B. C. D.
2.已知斜率为k的直线l与抛物线交于A,B两点,线段AB的中点为,则斜率k的取值范围是()
A. B. C. D.
3.若复数,其中为虚数单位,则下列结论正确的是()
A.的虚部为 B. C.的共轭复数为 D.为纯虚数
4.已知双曲线的一条渐近线方程为,则双曲线的离心率为()
A. B. C. D.
5.为比较甲、乙两名高中学生的数学素养,对课程标准中规定的数学六大素养进行指标测验(指标值满分为100分,分值高者为优),根据测验情况绘制了如图所示的六大素养指标雷达图,则下面叙述不正确的是()
A.甲的数据分析素养优于乙 B.乙的数据分析素养优于数学建模素养
C.甲的六大素养整体水平优于乙 D.甲的六大素养中数学运算最强
6.设椭圆:的右顶点为A,右焦点为F,B、C为椭圆上关于原点对称的两点,直线BF交直线AC于M,且M为AC的中点,则椭圆E的离心率是()
A. B. C. D.
7.已知向量与的夹角为,定义为与的“向量积”,且是一个向量,它的长度,若,,则()
A. B.
C.6 D.
8.如图,在平面四边形ABCD中,
若点E为边CD上的动点,则的最小值为()
A. B. C. D.
9.复数的共轭复数对应的点位于()
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
10.已知双曲线C:()的左、右焦点分别为,过的直线l与双曲线C的左支交于A、B两点.若,则双曲线C的渐近线方程为()
A. B. C. D.
11.复数的虚部为()
A. B. C.2 D.
12.设M是边BC上任意一点,N为AM的中点,若,则的值为()
A.1 B. C. D.
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.下图是一个算法流程图,则输出的S的值是______.
14.的展开式中,的系数为_______(用数字作答).
15.已知抛物线的焦点为,直线与抛物线相切于点,是上一点(不与重合),若以线段为直径的圆恰好经过,则点到抛物线顶点的距离的最小值是__________.
16.已知双曲线的左右焦点为,过作轴的垂线与相交于两点,与轴相交于.若,则双曲线的离心率为_________.
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(12分)已知直线的参数方程:(为参数)和圆的极坐标方程:
(1)将直线的参数方程化为普通方程,圆的极坐标方程化为直角坐标方程;
(2)已知点,直线与圆相交于、两点,求的值.
18.(12分)在直角坐标系中,已知点,若以线段为直径的圆与轴相切.
(1)求点的轨迹的方程;
(2)若上存在两动点(A,B在轴异侧)满足,且的周长为,求的值.
19.(12分)设函数其中
(Ⅰ)若曲线在点处切线的倾斜角为,求的值;
(Ⅱ)已知导函数在区间上存在零点,证明:当时,.
20.(12分)在平面直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为.
(1)求曲线C的极坐标方程和直线l的直角坐标方程;
(2)若射线与曲线C交于点A(不同于极点O),与直线l交于点B,求的最大值.
21.(12分)已知数列为公差不为零的等差数列,是数列的前项和,且、、成等比数列,.设数列的前项和为,且满足.
(1)求数列、的通项公式;
(2)令,证明:.
22.(10分)已知函数
(1)若函数在处取得极值1,证明:
(2)若恒成立,求实数的取值范围.
参考答案
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1、B
【解析】
根据已知可知水面的最大高度为正方体面对角线长的一半,由此得到结论.
【详解】
正方体的面对角线长为,又水的体积是正方体体积的一半,
且正方体绕下底面(底面与水平面平行)的某条棱任意旋转,
所以容器里水面的最大高度为面对角线长的一半,
即最大水面高度为,故选B.
【点睛】
本题考查了正方体的几何特征,考查了空间想象能力,属于基础题.
2、C
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