初中数学2024年中考八大题型点拨导练复习（四）开放研究问题.pdf

点拨复习（四）——开放研究问题

【专题点拨】

开放研究型问题是相对于条件和结论明确的封闭试题而言的，是能引起同学们

产生联想，并会自然而然的往深处想的一种试题类型，简单来说就是答案不唯

一的，解题的方向不确定，条件或者结论不止一种情况的试题，解答此类试题

时，需要对问题全方位、多层次、多角度思考审视，尽量找到解决问题的方法。

根据开放性的试题的特点，主要有如下几种类型：条件开放性、结论开放性、

选择开放型、综合开放型。

【典例赏析】

【例题1】（2017黑龙江鹤岗）如图，在边长为4的正方形ABCD中，E、F是AD

边上的两个动点，且AEFD，连接BE、CF、BD，CF与BD交于点G，连接AG交

BE于点H，连接DH，下列结论正确的个数是（）

①△ABG∽△FDG②HD平分∠EHG③AG⊥BE④S：Stan∠DAG⑤线段DH

△HDG△HBG

的最小值是2﹣2．

A．2B．3C．4D．5

【考点】S9：相似三角形的判定与性质；KD：全等三角形的判定与性质；LE：正

方形的性质；T7：解直角三角形．

【分析】首先证明△ABE≌△DCF，△ADG≌△CDG（SAS），△AGB≌△CGB，利用全

等三角形的性质，等高模型、三边关关系一一判断即可．

【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，

∴ABCD，∠BAD∠ADC90°，∠ADB∠CDB45°，

在△ABE和△DCF中，

，

∴△ABE≌△DCF（SAS），

∴∠ABE∠DCF，

在△ADG和△CDG中，

，

∴△ADG≌△CDG（SAS），

∴∠DAG∠DCF，

∴∠ABE∠DAG，

∵∠DAG+∠BAH90°，

∴∠BAE+∠BAH90°，

∴∠AHB90°，

∴AG⊥BE，故③正确，

同法可证：△AGB≌△CGB，

∵DF∥CB，

∴△CBG∽△FDG，

∴△ABG∽△FDG，故①正确，

∵S：SDG：BGDF：BCDF：CDtan∠FCD，

△HDG△HBG

又∵∠DAG∠FCD，

∴S：Stan∠FCD，tan∠DAG，故④正确

△HDG△HBG

取AB的中点O，连接OD、OH，

∵正方形的边长为4，

∴AOOH×42，

由勾股定理得，OD2，

由三角形的三边关系得，O、D、H三点共线时，DH最小，

DH2﹣2．

最小

无法证明DH平分∠EHG，故②错误，

故①③④⑤正确，

故选C．

【例题2】如图，在平面直角坐标系中，把矩形OABC沿对角线AC所在直线折叠，

点B落在点D处，DC与y轴相交于点E，矩形OABC的边OC，OA的长是关于x

2

的一元二次方程x﹣12x+320的两个根，且OA＞OC．

（1）求线段OA，OC的长；

（2）求证：△ADE≌△COE，并求出线段OE的长；

（3）直接写出点D的坐标；

（4）若F是直线AC上一个动点，在坐标平面内是否存在点P，使以点E，C，P，

F为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出P点的坐标；若不存在，请说明

理由．

【考点】LO：四边形综合题．

【分析】（1）解方程即可得到结论；

（2）由四边形ABCO是矩形，得到ABOC，∠ABC∠AOC90°，根据折叠的性质

得到ADAB，∠ADE∠ABC90°，根据全等三角形的判定得到△ADE≌△COE；根

据勾股定理得到OE3；

（3）过D作DM⊥x轴于M，则OE∥DM，根据相似三角形的性质得到CM，DM，

于是得到结论．

（4）过P作PH⊥AO于H，根据菱形的性质得到PECE5，PE∥AC，设PHk，

11111

HE2k，根据勾股定理得到PEk5，于是得到P（﹣，2+3），同理P（，

113

3﹣2），当A与F重合时，得到