2.1 控制系统的微分方程.pptx

2.1控制系统的微分方程第二章控制系统的数学模型

课前导入例1《孙子算经》中记载了这样的一个问题：“今有雏兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雏兔各几何？”思考：如果考虑“独脚鸡”和“双脚兔”的话，脚就由94只变成了47只。每只“鸡”的头数与脚数之比变为1：1，每只“兔”的头数与脚数之比变为1：2。“独脚鸡”和“双脚兔”的脚的数量与他们的头的数量之差，就是兔子的数量鸡的数量就是

课前导入例2哥尼斯堡七桥店主桥铁匠桥木桥绿桥“馋嘴”吉布莱茨桥高桥蜜桥内福夫岛普雷盖尔河新河道旧河道瑞士数学家欧拉收到来自东普鲁士首都哥尼斯堡（今属奥地利）的一封信，哥尼斯堡大学的学生在来信中向他请教的是下面一个问题：布勒格尔河横穿市区，哥尼斯堡大学附近有一个小岛，七座小桥分别连通着河岸、小岛和半岛。有人在散步过程中突发奇想，能不能在一个晚上走遍这七座桥而每座桥又都只通过一次呢？

课前导入——哥尼斯堡七桥CDBA欧拉在草纸上勾画出示意图。在他看来，问题是否有可行的方案，与岛、半岛的大小无关，也与河岸上桥头的间隔及小桥的长度无关。因而不妨将半岛、两侧河岸和小岛都缩为一点，将各个小桥代之以线，现在的问题是：能否用一只铅笔从“结点”A、B、C、D之中的某一点开始，不抬笔地连续描完每一条线而不出现线路重复呢？类似这样的问题，后来被统称为“一笔画”问题：作为一笔画，应该只有一个起点和一个终点，而其它点只能是通过点．图中四个节点A、B、C、D都是奇节点，所以，这是一个不可行的一笔画问题。

2.3.1数学模型根据对研究对象所观察到的现象及实践经验，归结成的一套反映其内部因素数量关系的数学公式、逻辑准则和具体算法。用以描述和研究客观现象的运动规律。系统的数学模型是描述系统输入量、输出量及内部各变量之间动态关系的数学表达式。它揭示了系统结构及其参数与其性能之间的内在关系。定义：

2.3.1数学模型系统数学模型时域模型复数域模型频域模型微分方程或一阶微分方程组传递函数频率特性常用数学模型

2.1.1数学模型建模方法解析法实验法对系统各部分的物理规律、化学规律、运动机理进行分析来建立数学模型。人为施加某种测试信号，记录基本输出响应。常用建模方法

2.1.2建模步骤工程中的控制系统有机械的、电气的、液压的、气动的、热力的、化学的等等多种形式，其运动规律都可以用微分方程加以描述。建立数模的一般步骤1）分析系统工作原理，确定系统及各元件的输入、输出量；2）从输入端开始，按照信号的传递顺序，根据各变量所遵循的物理学定律写出各元、部件的微分方程；3）消去中间变量，写出输入、输出变量的微分方程；4）变换成标准形式：左出、右入，降幂排列。

2.1.3控制系统的微分方程任何机械系统的数学模型都可以应用牛顿定律来建立。机械系统中以各种形式出现的物理现象，都可以使用质量、弹性和阻尼三个要素来描述。1.机械系统

机械系统的微分方程M、K、B分别表示质量、弹簧刚度和粘性阻尼系数。现研究外力fi(t)与位移xo(t)之间的关系?式中，m、B、K通常均为常数，故机械平移系统可以由二阶常系数微分方程描述。显然，微分方程的系数取决于系统的结构参数，而阶次等于系统中独立储能元件（惯性质量、弹簧）的数量。mmfi(t)KBxo(t)fi(t)xo(t)00fK(t)机械平移系统及其力学模型fB(t)fm(t)静止（平衡）工作点作为零点，以消除重力的影响

2.1.3控制系统的微分方程2.电气系统解：据基尔霍夫电路定理电阻R、电感L和电容器C是电路中的三个基本元件。通常利用基尔霍夫定律来建立电气系统的数学模型。由②：，代入①得：写出RLC串联电路的微分方程输入输出LRCiRLC无源电路网络

电气系统的微分方程一般R、L、C都是常数，上式为二阶常系数线性微分方程；若L=0，系统可简化为一阶常微分方程?:?????LRCi

2.1.4系统的微分方程性质在相同形式的输入作用下，数学模型相同而物理本质不同的系统其输出响应相似。物理本质不同的系统，可以有相同的数学模型即：同一数学模型可以描述物理性质完全不同的系统从而可以抛开系统的物理属性，用同一方法进行具有普遍意义的分析研究。相似系统是控制理论中进行实验模拟的基础机械平移系统微分方程RLC串联电路的微分方程

2.1.4系统的微分方程性质系统微分方程的阶次等于系统中所包含的独立储能元的个数（如惯性质量、弹性要素、电感、电容、液感、液容等）；系统的动态特性是系统的固有特性，仅取决于系统的结构及其参数。(