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§5.2群的概念及其性质

5.2.2群的性质

(1)任何群都没有零元。

(2)设G,*是群，则G中消去律成立。

证明：a,b,c∈G,a*b=a*c

∵群中任何元素的逆元都存在，设a的逆元是a-1

∴a-1*(a*b)=a-1*(a*c)即(a-1*a)*b=(a-1*a)*c)

∴e*b=e*cb=c

同理若b*a=c*a则b=c

∴群中消去律成立

§5.2群的概念及其性质

5.2.2群的性质

(3)设G,*是群，单位元e是G中的唯一

幂等元。

证明：∵e*e=e∴e是群中幂等元，

又设a∈G，且a*a=a，a是群中另一幂等元

∵a-1*a*a=a-1*a

∴a=e

∴e是群中唯一幂等元

5.2.2群的性质

(4)设G,*,H,。是群，f是G到H的同态，若

e为G,*的单位元，则f(e)是H,。的单位元，

并且对任意aG，有f(a-1)=f(a)-1。

证明：∵f是G到H的同态

∴f(e)。f(e)=f(e*e)=f(e)

从而f(e)是群H,。中幂等元，

∴f(e)是群H,。的单位元

又f(a)。f(a-1)=f(a*a-1)=f(e)

f(a-1)。f(a)=f(a-1*a)=f(e)

∴f(a)与f(a-1)互为逆元

5.2.2群的性质

(5)设G,*是群，H,。是任意代数系统，若存在

G到H的满同态映射，则H,。必是群。

证明：∵满同态映射具有“6保持”

∴H必是群，

5.2.4有限群的性质

定理：设G,*是一个n阶有限群，它的运算表中的每一

行（每一列）都是G中元素的一个全排列。

证明：设G中的n个不同元素为a,a,…,a

12n

即G={a,a,…,a}其中任意aa（ij）

12nij

其运算表中的第i行为aa,aa,…,aa

i1i2in

要说明是一个全排列，只要说明每个元素都不相同，

若aa=aa（jk）

ijik

由群众消去律成立则a=a矛盾

jk，

∴aa,aa,…,aa是n个元素的全排列

i1i2in

5.2.4有限群的性质

依据群的运算表中的每一行（每一列）都是G中元素的一个

全排列。分析1，2，3阶群的运算表。

*eab

*ea

e

eab