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2023年高考数学模拟试卷
注意事项:
1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.若数列满足且,则使的的值为()
A. B. C. D.
2.已知命题,且是的必要不充分条件,则实数的取值范围为()
A. B. C. D.
3.已知(i为虚数单位,),则ab等于()
A.2 B.-2 C. D.
4.如图,将两个全等等腰直角三角形拼成一个平行四边形,将平行四边形沿对角线折起,使平面平面,则直线与所成角余弦值为()
A. B. C. D.
5.已知抛物线和点,直线与抛物线交于不同两点,,直线与抛物线交于另一点.给出以下判断:
①以为直径的圆与抛物线准线相离;
②直线与直线的斜率乘积为;
③设过点,,的圆的圆心坐标为,半径为,则.
其中,所有正确判断的序号是()
A.①② B.①③ C.②③ D.①②③
6.已知平面向量,满足,,且,则()
A.3 B. C. D.5
7.“中国剩余定理”又称“孙子定理”,最早可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题,叫做“物不知数”,原文如下:今有物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七七数之剩二.问物几何?现有这样一个相关的问题:将1到2020这2020个自然数中被5除余3且被7除余2的数按照从小到大的顺序排成一列,构成一个数列,则该数列各项之和为()
A.56383 B.57171 C.59189 D.61242
8.直三棱柱中,,,则直线与所成的角的余弦值为()
A. B. C. D.
9.如图示,三棱锥的底面是等腰直角三角形,,且,,则与面所成角的正弦值等于()
A. B. C. D.
10.下列函数中既关于直线对称,又在区间上为增函数的是()
A.. B.
C. D.
11.复数的虚部为()
A.—1 B.—3 C.1 D.2
12.设全集,集合,,则()
A. B. C. D.
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.已知F为双曲线的右焦点,过F作C的渐近线的垂线FD,D为垂足,且(O为坐标原点),则C的离心率为________.
14.已知抛物线的焦点为,过点且斜率为1的直线与抛物线交于点,以线段为直径的圆上存在点,使得以为直径的圆过点,则实数的取值范围为________.
15.设平面向量与的夹角为,且,,则的取值范围为______.
16.设等比数列的前项和为,若,,则__________.
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(12分)如图,焦点在轴上的椭圆与焦点在轴上的椭圆都过点,中心都在坐标原点,且椭圆与的离心率均为.
(Ⅰ)求椭圆与椭圆的标准方程;
(Ⅱ)过点M的互相垂直的两直线分别与,交于点A,B(点A、B不同于点M),当的面积取最大值时,求两直线MA,MB斜率的比值.
18.(12分)设函数.
(1)若函数在是单调递减的函数,求实数的取值范围;
(2)若,证明:.
19.(12分)如图,三棱锥中,
(1)证明:面面;
(2)求二面角的余弦值.
20.(12分)在直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数).以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴,建立极坐标系.已知点的直角坐标为,过的直线与曲线相交于,两点.
(1)若的斜率为2,求的极坐标方程和曲线的普通方程;
(2)求的值.
21.(12分)在直角坐标系中,曲线的参数方程为以为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,设点在曲线上,点在曲线上,且为正三角形.
(1)求点,的极坐标;
(2)若点为曲线上的动点,为线段的中点,求的最大值.
22.(10分)已知函数,且.
(1)若,求的最小值,并求此时的值;
(2)若,求证:.
参考答案
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1、C
【解析】
因为,所以是等差数列,且公差,则,所以由题设可得,则,应选答案C.
2、D
【解析】
求出命题不等式的解为,是的必要不充分条件,得是的子集,建立不等式求解.
【详解】
解:命题,即:,
是的必要不充分条件,
,
,解得.实数的取值范围为.
故选:.
【点睛】
本题考查根据充分、必要条件求参数范围,其思路方法:
(1)解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之
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