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固体力学作业薄板的振动的固有频率与振型

固体力学作业薄板的振动的固有频率与振型全文共1页，当前为第1页。MACROBUTTONMTEditEquationSection2SEQMTEqn\r\hSEQMTSec\r1\hSEQMTChap\r1\h固体力学作业

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薄板的振动的固有频率与振型

1、问题

矩形薄板的参数如下

求矩形薄板在

（1）四边简支（2）四边固支

条件下的固有频率和振型

2、薄板振动微分方程

薄板是满足一定假设的理想力学模型，一般根据实际的尺寸和受力特点来将某个实际问题简化为薄板模型，如厚度要比长、宽的尺寸小得的结构就可以采用薄板模型。薄板在上下表面之间存在一个对称平面，此平面称为中面，且假定：

（1）板的材料由各向同性弹性材料组成；

（2）振动时薄板的挠度要比它的厚度要小；

（3）自由面上的应力为零；

（4）原来与中面正交的横截面在变形后始终保持正交，即薄板在变形前中面的法线在变形后仍为中面的法线。

为了建立应力、应变和位移之间的关系，取空间直角坐标Oxyz，且坐标原点及xOy坐标面皆放在板变形前的中面位置上，如REF_Ref420399910图1所示。设板上任意一点a的位置，将由变形前的坐标x、y、z来确定。

图SEQ图\*ARABIC1薄板模型

根据假定（2），板的横向变形和面内变形u、v是相互独立的。为此，其弯曲变形可由中面上各点的横向位移所决定。根据假定（4），剪切应变分量为零。由薄板经典理论，可以求得板上任意一点沿三个方向的位移分量的表达式分别为

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根据应变与位移的几何关系可以求出各点的三个主要是应变分量为

胡克定律，从而获得相对应的三个主要应力分量为：

现画薄板微元的受力图如REF_Ref420656647\h图2所示。

REF_Ref420656647\h图2所示中分别为OB面、OC面上所受到的单位长度的弯矩、扭矩和横切剪力。弯矩和扭矩都用沿其轴的双剪头表示。Mx、My是由正应力σx、σx引起的合力矩。扭矩是由剪切力τxy引起的合力矩。

图SEQ图\*ARABIC2薄板应力示意图

p(x,y,t)=P(x,y)f(t)为具有变量分离形式的外载荷集度，沿z轴方向。应用动静法计算时，沿z轴负方向有一虚加惯性力，根据，，则有

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整理后，可得

整理得到

由弯矩的计算公式

将式GOTOBUTTONZEqnNum585619REFZEqnNum585619\*Charformat\!(1.2)代入式GOTOBUTTONZEqnNum796045REFZEqnNum796045\*Charformat\!(1.8)，积分后得

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再将式GOTOBUTTONZEqnNum129296REFZEqnNum129296\*Charformat\!(1.9)代入式GOTOBUTTONZEqnNum746102REFZEqnNum746102\*Charformat\!(1.5)，即可得到薄板微元的运动微分方程为

这是一个四阶的线性非齐次的偏微分方程。其中为薄板的抗弯刚度。

3、矩形板横向振动微分方程的解

矩形板的横向自由振动的微分方程为

或写成

其中

设解的形式是时间变量和坐标变量可以分离的形式：

将式GOTOBUTTONZEqnNum444221REFZEqnNum444221\*Charformat\!(1.13)代入式GOTOBUTTONZEqnNum393257REFZEqnNum393257\*Cha