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雄关漫道真如铁;当代著名数学家，柯朗曾指出：“微积分，或者数学分析，是人类思维的伟大成就之一。它处于自然科学与人文科学之间的地位，使它成为高等教育的一种特别有效的工具。遗憾的是，微积分的教学方法有时流于机械，不能体现出这门学科乃是一种撼人心灵的智力奋斗的结晶。”;学习重在“习”，知识重在“识”，文化重在“化”,教育重在“育”。;第二部分;二.上确界和下确界;一.子列
;定理1:;例1:;在第二章曾经讨论了函数极限和数列极限的关系(海涅定理):;假设存在两个数列:;二.上确界和下确界;数集分为有限数集和无限数集.通常也说数列是一个数集.;因而,若它有最大数,则这个最大数是它的一个
上界,并且所有比这个最大数小的任何数都不是它的上界,;关于他们的存在性暂且不论,我们先对一般数集确切定义它的最小的上界和最大的下界.即上(下)确界的概念.;定义:;定义:;定理2:;2.一个无限数集E即使它有上确界(或下确界),;对下确界可达到必是数集E的最小数的情况也可同样说明.;数集E的上(下)确界还有一个重要性质:;定理4:;这里不仅证明了单调有界数列的极限存在,而且也证明了如果它是单增的,则极限就是它的上确界.;定义:;证明:;.;定义表明构成区间套的闭区间列是前一个套着后一个,;四.致密性(聚点定理的特殊情形)定理:;外尔斯特拉斯（KarlTheodorWilhelmWeierstrass，1815-1897）德国数学家。被誉为“现代分析之父”，主要贡献在函数论和分析方面.发现函数项级数一致收敛性,第一个给出行列式的严格定义.大器晚成对整个数学界带来巨大影响的伟大数学家。;定理6(Weierstrass):;证毕.;当数列无界时,虽然不能应用致密性定理,但也有一个类似的性质,它刻画了无界数列的特性.;五.Cauchy收敛原理;柯西（AugusitnLouisCauchy，1789-1857）法国数学家。对数学最大贡献在微积分中引进清晰严格的表述和证明方法，形成微积分现代体系。第一个使用极限符号,定义上\下极限和证明重要极限.许多见解被普遍接受并沿用到今.多产的数学家一生发表论文800余篇.著书7本柯西全集共27卷.数学分析的奠基人.;定理7:;其次,证??数列收敛.;这个定理的充要条件表明,在收敛数列中必有这样一项,在这项以后任意两项之差的绝对值为任意小.;六.有限覆盖定理;证明:;(假设);定理条件中,若E不是开区间集或为非闭区间,则从E中就不一定能选出有限个区间来覆盖.;说明:1.六个实数基本定理是相互等价的.即可以以其中任
意一个为公理,推出其他所有定理.(推证能构成一
个闭合的循环).
2.各种教材有不同的理论体系和不同的表述方式,
本教材是以确界定理(定理3)为公理,有的以单调有
界数列存在极限定理(定理4)为公理,还有的以区间
套定理(定理5)为公理,来论证其他定理.
3.更基本的原理的讨论,涉及更深入的实数理论,超出
数学分析研究的范围.
;四小结
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