（新高考通用）2024年高考数学【讲义】高频考点题型归纳与方法总结 第06讲 函数的概念及其表示（精讲）（原卷版+解析）.docxVIP

2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）

第06讲函数的概念及其表示（精讲）

题型目录一览

①给出函数解析式求解定义域

②抽象函数定义域的求法

③函数值域的求法

④函数解析式的求法

⑤分段函数的应用

一、知识点梳理

一、知识点梳理

1.函数的概念

(1)一般地，给定非空数集，，按照某个对应法则，使得中任意元素，都有中唯一确定的与之对应，那么从集合到集合的这个对应，叫做从集合到集合的一个函数.记作：，.集合叫做函数的定义域，记为，集合，叫做值域，记为.

(2)函数的实质是从一个非空集合到另一个非空集合的映射.

(3)函数表示法：函数书写方式为，

(4)函数三要素：定义域、值域、对应法则.

(5)同一函数：两个函数只有在定义域和对应法则都相等时，两个函数才相同.

2.基本的函数定义域限制

求解函数的定义域应注意：

（1）分式的分母不为零；

（2）偶次方根的被开方数大于或等于零：

（3）对数的真数大于零，底数大于零且不等于1；

（4）零次幂或负指数次幂的底数不为零；

（5）三角函数中的正切的定义域是且；

（6）已知的定义域求解的定义域，或已知的定义域求的定义域，遵循两点：①定义域是指自变量的取值范围；=2\*GB3②在同一对应法则∫下，括号内式子的范围相同；

（7）对于实际问题中函数的定义域，还需根据实际意义再限制，从而得到实际问题函数的定义域.

3.基本初等函数的值域

(1)的值域是.

(2)的值域是：当时，值域为；当时，值域为．

(3)的值域是.

(4)且的值域是.

(5)且的值域是.

4.分段函数

若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数．

提醒：分段函数是一个函数，而不是几个函数，分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．

二、题型分类精讲

二、题型分类精讲

题型一给出函数解析式求解定义域

策略方法已知函数的具体解析式求定义域的方法

(1)简单函数的定义域：若f(x)是由一些基本初等函数通过四则运算构成的，则它的定义域为各基本初等函数的定义域的交集．

(2)复合函数的定义域：先由外层函数的定义域确定内层函数的值域，从而确定对应的内层函数自变量的取值范围，还需要确定内层函数的定义域，两者取交集即可．

【典例1】求下列函数的定义域：

(1)；

(2)；

(3)；

(4).

【题型训练】

一、单选题

1．下列四组函数中，两个函数表示的是同一个函数的是（????）

A．与 B．与

C．与 D．与

2．函数定义域为（????）

A． B． C． D．

二、填空题

3．函数的定义域是__________.

4．函数的定义域是_________．

三、解答题

5．求下列函数的定义域：

（1）；

（2）；

（3）；

（4）.

6．已知函数的定义域为M，

（1）求M；

（2）当时，求的最小值．

题型二抽象函数定义域的求法

策略方法抽象函数的定义域的求法

(1)若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域由a≤g(x)≤b求出．

(2)若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]时的值域．

提醒：明确定义域是自变量“x”的取值范围．

【典例1】求下列函数的定义域：

(1)已知函数的定义域为[1，2]，求函数的定义域；

(2)已知函数的定义域[1，2]，求函数的定义域；

(3)已知函数的定义域[1，2]，求函数的定义域.

【题型训练】

一、单选题

1．若函数的定义域为，则函数的定义域为（????）

A． B． C． D．

2．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（????）

A． B． C． D．

3．函数的定义域为，则的定义域为（????）

A． B．

C． D．

二、填空题

4．若已知函数的定义域为，则可求得函数的定义域为；问实数m的值为______．

5．已知函数的定义域为，则函数的定义域___________.

三、解答题

6．已知函数的定义域为.

(1)求的定义域；

(2)对于（1）中的集合，若，使得成立，求实数的取值范围.

7．已知函数的定义域是，设，

(1)求的定义域；

(2)求函数的最大值和最小值.

题型三函数值域的求法

策略方法函数值域的求法主要有以下几种

（1）观察法:根据最基本函数值域（如≥0,及函数的图像、性质、简单的计算、推理，凭观察能直接得到些简单的复合函数的值域.

（2）配方法：对于形如的值域问题可充分利用二次函数可配方的特点，结合二次函数的定义城求出函数的值域.

（3）图像法：根据所给数学式子的特征，构造合适的几何模型.

（4）基本不等式法：注意使用基本不等式的条件，即