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数学文化的探究教学案例设计

数学文化的探究教学案例设计

――数列的递推公式

浙江师范大学与浙江省丽水市的两所中学合作开展一

年的校本教研培训活动，培训形式除了专家讲学外，大量的

是“同课异构”式的教研活动。2008年3月14-15日在浙江

丽水中学、丽水学院附中就高一年级的高中新课程必修5第

2章：数列的递推公式（数列复习课第1课）进行了4节公

开课教学。同一内容分别由浙江丽水中学、温州中学与丽水

学院附中的教师执教，其中温州中学执教的李芳老师的教学

设计是在温州中学特级教师马玉斌老师以及浙江师范大学

张维忠教授等专家指导下完成的，而且她又是唯一有机会就

同一内容讲授2次的执教老师。下面给出的是李芳老师前后

两次上课的教学实录与我们的思考。

1初次上课的教学设计

1.1回顾

回顾一：复习等差数列、等比数列的定义式（递推公式）

及通项公式，为后面由递推公式推导通项公式做铺垫。

回顾二：必修5中2.1的例2：谢宾斯基三角形

（1）介绍数学的历史与文化

上世纪初，波兰的数学家谢宾斯基想找到一个图形，当

它的面积无限减小时，它的周长则无限增大（用几何画板进

行迭代演示）。

（2）数一数

将上述迭代过程逐一展示，让学生数数在每个图形中绿

色三角形的个数依次为多少？引出该等比数列的递推式及

通项公式。

1.2探究

（3）再数一数：每个图形中绿色、黑色三角形的总个

数依次为多少?

学生容易先得出前三项为1，4，13。

探究一：第4项是多少（从特殊到一般，引出递推公

式）？

方法一（几何方法）

从第二个图象起，每一个图象可以看成由前一个图象的

三份缩影加上中间一个黑三角形。因此，。

方法二（代数方法）

从前三项的数值上也可以发现：，

方法三（代数方法）

（）

方法四（几何方法）

从第二个图象起，每一个图象是在前一个图象的每个绿

三角形中挖走一个中心三角形，这样如图所示的圈内一个三

角形就变为四个三角形，增加三个三角形。

在第个图形中，绿三角形的个数为，所以，即。

归纳：当我们面对较为一个复杂的数列时，很难一眼看

清其全貌的话，可以先寻找出其递推关系，这就是本堂课复

习的重点――数列的递推公式。

递进：然而，我们得到该数列的递推公式便满足了吗？

请问，它的第5项是几？第6项是几？（学生轻松回答）那

么，第100项是几呢（学生一时语塞，随即提笔思考）？

探究二：第100项是多少？（引出求通项公式的方法）

方法一的引导：

教师让学生观察递推公式，提问：从而，诱导出利用“累

加法”来解决此问题。

教师小结以上解法：

其一，用了累加法，此法早在等差数列中由定义式推导

通项公式就曾用过，类似的还有累乘法；

其二，用了等比数列求和公式。

方法二的引导：

教师再让学生观察递推公式。在递推式中，若去1，就

是等比数列；若改3为1，则是等差数列。是否可构造以3

为公比的等比数列呢？如何把常数1进行分配呢？假设等式

左边分得m，则右边就得3m。所以有：

小结：这可谓“殊途同归”！同一个数列有两个不同的

递推公式，两个不同的递推公式推出同一个通项公式，虽分

别用了“累加法”和“构造法”，但却都是化归为等差或等

比数列的有关概念来解决！

探究三：试由递推公式推得数列的通项公式

给学生一些思考时间。部分学生均只能由已知条件求出

第3项为9，第4项为13，则猜想就是前面的数列。教师则

引导从开始出发，是否可再构造等比数列？即

即为探究二中的两个递推公式，当然此数列就是前面的

数列。

1.3巩固思考

意图：（1）让学生再次经历特殊到一般的归纳过程，培

养合情推理的能力；（2）从归纳的结果中发现通项的分母为

等差数列的通式，从而为严格论证开启思路。

1.4归纳小结

当我们研究一个较为复杂的数列时，若不能马上得出它

的通项