第四章 Green函数法(all).ppt

第四章Green函数法§2.Green公式，基本解和Poisson方程的基本积分公式§5.热传导方程与波动方程的Green函数3.例题例：求单位圆内Laplace方程的Dirichlet问题解：二维Laplace方程的基本解为：引入极坐标则基本解为求Green函数，还需解定解问题在极坐标(ρ,θ)下，对上述方程进行变量分离，并考虑到解的有界性条件与周期条件得方程解为其中为待定系数。利用恒等式在单位圆周上有：有通过比较系数可得从而得：Green函数故由第一边值问题解的公式得：又§4.电像法

Poisson方程第一边值问题的Green函数在静电学中的物理意义：导体表面接地，在其内部点M0处放置一电量为的点电荷，在导体内部任一点产生的电位分布就是Green函数。点处放一表示由电磁学知，在接地导体内放置电荷时，导体表面将产生感应电荷。而基本解电荷在空间中产生的场，++++_++G1是由感应电荷产生的场，G0满足故电像法的基本思想：用另一设想的等效点电荷代替所有的感应电荷。要解决问题：1.等效点电荷的位置2.等效点电荷的电量具体步骤：(1)对应于Ω内的一点M0寻求关于区域边界对称的区域外的点M1(2)在点置电量为q的正电荷，使得在区域相抵消，边界上，由该正电荷产生的电位与即：从而确定电量为(3)Green函数为例1.求圆域(ra)上的Green函数及Laplace方程的Dirichlet问题的解。解：1)Green函数二维平面上基本解为设M0为圆域(ra)内的一点，连接OM0并延长至M1,使得PO在M1点置一电量为q的正点电荷，使得对圆周上任一点P有：又∽故点称M0为点M1关于圆周r=a的反演点。由此可得因此则Green函数为在极坐标下其中,β是OM0与OM的夹角。2)利用Green函数求解圆域上Laplace方程的Dirichlet问题所以极坐标下圆域的Green函数为：由于在边界r=a上,，故将上式代入求解公式得圆域上Dirichlet问题的解为：例2.上半空间的Green函数及Laplace方程的Dirichlet问题的解。zy解：（1）Green函数x设为上半空间内的一点，关于z=0的对称点为三维空间的基本解为:P由有则故Green函数为(2)求上半空间Dirichlet问题的解。由于在边界z=0上,，故代入公式得上半空间中Dirichlet问题的解为：例3.球域的Green函数及Laplace方程的Dirichlet问题的解.解：1)设M0为球内任一点，是M0关于球面Σ的反演点，P为球面上一点。po由∽，得**内容安排：§1.函数;§2.Green公式与基本积分公式;§3.Poisson方程边值问题的Green函数法;§4.用电像法求特殊区域上的Green函数;§5.热传导方程与波动方程的Green函数法.基本思想：把一个非齐次方程带有非齐次边值条件的问题转化为求一个特殊边值问题。该特殊问题的解，称为Green函数，它表示一个点源在一定边界条件和(或)初值条件下所产生的场或影响.§1.δ函数δ函数是用来表示点源的密度分布的函数1.δ函数的引入与物理意义设有一细长金属线，则在任一点x处，该金属线的密度为则ρ(x)满足：点电荷、点热源都是满足以上关系式的物理量。若金属线的总质量为1，且质量集中于x=0处，定义：δ函数是指具有下列性质的函数，且物理意义：单位质量（电量、热量等）集中x=0点的密度函数。―般地,若单位点源不是放在x=0处，而是在x=x0处,则有说明：(1)若在x=a处有一质量为m的质点,则x轴上任一质点x处的质量密度为(2)δ函数不是普通意义下的函数，需在积分意义下理解它的性质2δ函数的性质(2)在积分意义下，δ(x)为偶函数:(1)对任意的连续函数f(x)有:(3)在积分意义下，即3.高维δ函数三维δ函数性质奥－高公式：其中