2023年高考数学真题题源解密（新高考全国卷）专题14 抛物线（解析版）.docx

专题14抛物线

目录一览

2023真题展现

考向一直线与抛物线

真题考查解读

近年真题对比

考向一抛物线的性质

考向二直线与抛物线

命题规律解密

名校模拟探源

易错易混速记/二级结论速记

考向一直线与抛物线

1．（多选）（2023?新高考Ⅱ?第10题）设O为坐标原点，直线y=?3（x﹣1）过抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点，且与C交于M，N两点，l为C

A．p＝2

B．|MN|=8

C．以MN为直径的圆与l相切

D．△OMN为等腰三角形

【答案】AC

解：直线y=?3（x﹣1）过抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点，可得p2=

所以A正确；

抛物线方程为：y2＝4x，与C交于M，N两点，

直线方程代入抛物线方程可得：3x2﹣10x+3＝0，

xM+xN=10

所以|MN|＝xM+xN+p=163，所以

M，N的中点的横坐标：53，中点到抛物线的准线的距离为：1+

所以以MN为直径的圆与l相切，所以C正确；

3x2﹣10x+3＝0，

不妨可得xM＝3，xN=13，yM＝﹣23，xN

|OM|=9+12=21，|ON|=19

所以△OMN不是等腰三角形，所以D不正确．

【命题意图】

考查抛物线的定义、标准方程、几何性质、直线与抛物线．考查运算求解能力、逻辑推导能力、分析问题与解决问题的能力、数形结合思想、化归与转化思想．

【考查要点】

抛物线的定义、方程、性质是高考常考内容，以小题出现，常规题，难度中等．

【得分要点】

一、抛物线的定义

平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．

注：①在抛物线定义中，若去掉条件“l不经过点F”，点的轨迹还是抛物线吗？

不一定是，若点F在直线l上，点的轨迹是过点F且垂直于直线l的直线．

②定义的实质可归纳为“一动三定”

一个动点M；一个定点F(抛物线的焦点)；一条定直线(抛物线的准线)；一个定值(点M到点F的距离与它到定直线l的距离之比等于1)．

二、抛物线的方程及简单几何性质

类型

y2＝2px(p0)

y2＝－2px(p0)

x2＝2py(p0)

x2＝－2py(p0)

图象

性质

焦点

Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))

Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0))

Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))

Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2)))

准线

x＝－eq\f(p,2)

x＝eq\f(p,2)

y＝－eq\f(p,2)

y＝eq\f(p,2)

范围

x≥0，y∈R

x≤0，y∈R

x∈R，y≥0

x∈R，y≤0

对称轴

x轴

y轴

顶点

O(0,0)

离心率

e＝1

开口方向

向右

向左

向上

向下

三、直线与抛物线的位置关系

设直线l：y＝kx＋m，抛物线：y2＝2px(p0)，将直线方程与抛物线方程联立整理成关于x的方程k2x2＋2(km－p)x＋m2＝0.

(1)若k≠0，当Δ0时，直线与抛物线相交，有两个交点；

当Δ＝0时，直线与抛物线相切，有一个交点；

当Δ0时，直线与抛物线相离，没有公共点．

(2)若k＝0，直线与抛物线有一个交点，此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合．

注：(1)直线与抛物线有一个公共点是直线与抛物线相切的必要不充分条件．

(2)研究直线与抛物线的关系时要注意直线斜率不存在的情况．

四、弦长问题

过抛物线y2＝2px(p0)的焦点的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，那么线段AB叫做焦点弦，

如图：设AB是过抛物线y2＝2px(p0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝x1＋x2＋p.

注：(1)x1·x2＝eq\f(p2,4).

(2)y1·y2＝－p2.

(3)|AB|＝x1＋x2＋p＝eq\f(2p,sin2α)(α是直线AB的倾斜角)．

(4)eq\f(1,|AF|)＋eq\f(1,|BF|)＝eq\f(2,p)为定值(F是抛物线的焦点)．

（5）求弦长问题的方法

①一般弦长：|AB|＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|，或|AB|＝eq\r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|.

②焦点弦长：设过焦点的弦的端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝x1＋x2＋p.

考向一抛物线的性质

2．（多选）（2022?新高考Ⅱ）已知O为坐标原点，过抛物线C：y2＝2px（p＞0）焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点M（p，0）．若|AF|＝|AM|，则（）

A．直