四点共圆的运用.doc

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圆内接四边形判定方法

1、如果一个四边形的四个顶点与某定点等距离，那么这个四边形内接于以该点为圆心的一个圆;

2、如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形内接于一个圆;

3、如果一个四边形的外角等于它的内对角，那么这个四边形内接于一个圆;

4、假设有两个同底的三角形，另一顶点都在底的同旁，且顶角相等，那么这两个三角形有公共的外接圆;

圆内接四边形性质：

以右图所示圆内接四边形ABCD为例，圆心为O，连接OA、OB，延长AB至E，AC、BD交于P，那么:

1、圆内接四边形的对角互补:∠BAD+∠DCB=180°，∠ABC+∠ADC=180°

2、圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角:∠CBE=∠ADC

3、圆心角的度数等于所对弧的圆周角的度数的两倍:∠AOB=2∠ACB=2∠ADB

4、同弧所对的圆周角相等:∠ABD=∠ACD例如图

5、圆内接四边形对应三角形相似:△ABP∽△DCP(三个内角对应相等)

引例1、〔2021年福州中考〕如图1，点O在线段AB上，AO?2，OB?1，OC为射线，且∠BOC?60?，动点P以每秒2个单位长度的速度从点O出发，沿射线OC做匀速运动，设运动时间为t秒.

〔1〕当t?秒时，那么OP?，S△ABP?；

〔2〕当△ABP是直角三角形时，求t的值；

〔3〕如图2，当AP?AB时，过点A作AQ∥BP，并使得∠QOP?∠B，求证：AQ·BP?3.

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例2．在梯形ABCD中，AB∥DC，AB＞CD，K，M分别在AD，BC上，∠DAM＝∠CBK.

求证：∠DMA＝∠CKB.

分析：易知A，B，M，K四点共圆.连接KM，

有∠DAB＝∠CMK.∵∠DAB+∠ADC

＝180°，

∴∠CMK+∠KDC＝180°.

故C，D，K，M四点共圆∠CMD＝∠DKC.

但已证∠AMB＝∠BKA，

∴∠DMA＝∠CKB.

例3、设P是平行四边形ABCD内部的一点，且∠PBA=∠PDA．求证：∠PAB=∠PCB．

例4、如图，O是Rt△ABC斜边AB的中点，CH⊥AB于H，延长CH至D，使得CH=DH，F为CO上任意一点，过B作BE⊥AF于E，连接DE交BC于G．求证：∠CAF=∠CDE．

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〔2021?盐城〕如图，在平面直角坐标系xOy中，将抛物线y=x2的对称轴绕着点P〔0，2〕顺时针旋转45°后与该抛物线交于A、B两点，点Q是该抛物线上一点．

〔1〕求直线AB的函数表达式；

〔2〕如图①，假设点Q在直线AB的下方，求点Q到直线AB的距离的最大值；

〔3〕如图②，假设点Q在y轴左侧，且点T〔0，t〕〔t＜2〕是射线PO上一点，当以P、B、Q为顶点的三角形与△PAT相似时，求所有满足条件的t的值．

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2021年上海市虹口区中考模拟

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