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圆轴扭转应力分布的讲解
1.概述
在材料力学课程的杆件应力分析中根据实验观测提出变形关系——平面假设是通用的方
法，其本质是假设了横截面各点间的变形协调或几何方程，极大简化了方程推导。圆轴扭转
的应力分析不仅是平面假设的典型应用，同时也是材料力学课程讲述的难点之一，甚至材料
力学教研室常常以该部分内容的讲述考察新任教师的水平。
在该部分内容的教学中难点在于：如何关联由实验观测获得的平面假设与后续的应力分
析过程，本教学案例以经典教材内容为基础，重点关注圆轴扭转变形平面假设的内涵以关联
后续的圆轴扭转截面应力分析。为了突出该教案的主题，与之关系不紧密的部分包括常规公
式推导在该教案中略去。
2.圆轴扭转平面假设的回顾与问题引出
在各经典教材中扭转问题均以圆轴扭转为基础与重点，而实验观测与平面假设是圆轴扭
[1-5]
转应力分析的前导，为了后续问题说明的方便，这里列出圆轴扭转变形平面假设的具体内
容。
根据圆轴扭转变形的实验观测，对轴内变形作如下假设：变形后横截面仍然保持平面，
其形状、大小与横截面之间的距离均不改变，而且半径仍为直线。概言之，圆轴扭转时各横截
[4]
面如同刚性圆片，仅绕轴线作相对旋转。此假设称为圆轴扭转变形平面假设。
对于该部分的教学过程，大部分的教师在完成平面假设的叙述后就直接进入了楔形微体
（分析对象）的描述与公式的推导，少有再次提及平面假设，这种讲授方式完全割裂了平面
假设与应力分析的关联，容易造成学生只知公式应用不知来历的现象，这种现象与该问题的
讲述方法不无关系。
3.圆轴扭转变形平面假设的内涵与作用
众所周知，平面假设的目的是为了简化横截面应力分布静不定问题的分析。一般情况下，
横截面上可能存在正应力与切应力，但在圆轴扭转问题中横截面正应力分布少有教师提及，
横截面上的合力仅有扭矩是造成正应力讲述缺失的主要原因。合力为零并不能说明对应类型
的应力为零，横力弯曲横截面上存在垂直于剪力方向的切应力就是实例。事实上，圆轴扭转
1
变形平面假设的关键点之一正是正应力分析，这里使用图加以说明。
1
图扭转轴分离体示意图
在上节对平面假设的描述中，首先“横截面之间的距离不变”即不同横截面上各点轴向
变形Dl=0，所以
Dl
e==0(1)
xl
其次，“横截面的大小不变”即Dr=0，所以
Dr
e==0(2)
rr
再次，“横截面的形状不变，各横截面如同刚性圆片绕轴线作相对旋转”即Dq=0，
所以
Dq
e==0(3)
(1)(3)
由式－以及各向同性材料的广义虎克定律可知
s=0,s=0,s=0(4)
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