随机变量的性质课件.pptVIP

1随机变量的性质

2随机变量定义随机变量的独立性随机变量的矩与相关系数随机变量分布的峰度和偏度随机变量的矩母函数和特征函数极限定理主要内容

3随机变量的提出：观察一个随机现象，其随机事件有些是数量性质，有些是非数量性质的。非数量性质的随机事件很难运用成熟的数学方法去处理，即使对数量方式刻画的随机事件由于缺乏规范性和统一性，在进行数学处理时通常也会存在一些问题。为此，人们提出了一种与事件的原始描述形态相对应、易于数学处理、比较规范、并有许多共性的数学描述方法，这就是所谓的随机事件的随机变量表示。借助于随机变量对Ω上的事件进行数学化刻画以后，我们既可以利用概率测度P评价F中的事件，又可以广泛借助于数学方法对F中的事件进行更全面、更深入的认识。注意：随机变量的定义也必须遵循一定的规则。对于概率空间(Ω,F,P)，尽管Ω的所有随机事件皆可以用随机变量来描述，但我们只对评测F中的事件感兴趣，而且也只有F中的随机事件才是可测的，或者说只有对F中事件才能进行概率测度。随机变量定义的界定

4定义称映射?:Ω?R1是随机变量（或者F可测的），若?A?B(R1)，?-1(A)={w|?(w)?A}?F，即?-1(A)是F中的事件。显然，G＝{?-1(A)|A?B(R1)}是F中的集合簇。我们把由G生成的σ－代数?(G)称为由随机变量?生成的σ－代数，记作σ(?),σ(?)是使?可测的最小σ－代数。定义

5多维随机变量设(Ω,F,P)为概率空间，称?＝(?1(w),?2(w),…,?n(w)):Ω?Rn是多维随机变量，当且仅当?的每个分量都是F可测的。同样，我们也可以定义多维随机变量?:Ω?Rn的分布函数：对?x=(x1,…,xn)?Rn，定义F(x)=F(x1,…,xn)=P({w|?1(w)?x1,…,?n(w)?xn})，则称F为?的n维联合分布函数。对mn，在联合分布函数中将其中n-m个变量用+?来代替，就可得到对应于?的m个分量的边际分布函数。例如：F(x1,+?,…,+?)=P({w|?1(w)?x1,?2(w)?+?,…,?n(w)?+?})是一维边际分布函数，实质上也是分量?1的分布函数。

6多维随机变量若存在一个非负实函数f：Rn?R1，使得对?A?B(Rn)，满足P?(A)=P({w?Ω|?(w)?A})=f(x)dx则称f为n维随机变量?的密度函数，此时n维随机变量的联合分布函数表示为我们经常使用的概率分布有二项分布、Poission分布、正态分布、对数正态分布、高斯分布、χ2-分布、t-分布、F分布等。

9随机变量的矩与相关系数定义设?为概率空间(Ω,F,P)上的随机变量，若积分|?k|dP+?，则称?kdP为?的k阶矩，记作E?k；同理，可定义k阶中心矩E((?–E?)k)；称一阶矩E?为?的数学期望，记为E?；称二阶中心矩E((?–E?)2)为?的方差，记作σ2或V?；称σ为?的标准差。

10多维随机变量的数学期望和方差:对维随机向量（?1,?2,?,?n），若每个随机变量?i(i=1,2,…n)都有有限数学期望，则称Cov(?i,?j)=E[(?i－E?i)(?j－E?j)]=E?i?j－E?iE?j,(i?j)为随机变量?i与?j的协方差，或称为二阶混合中心矩；

11若?i，?j的方差V?i和V?j非零有限，则定义?i与?j的相关系数为容易推理得0?|?(?i,?j)|?1。

12方差-协方差矩阵:我们称n阶方阵为n维随机向量（?1,?2,…?n）的方差-协方差矩阵，记为?，显然方差-协方差矩阵?为非负定的对称矩阵。同理，我们也可以得到由?(?i,?j)组成的相关系数矩阵。

13数学期望和方差有一条重要性质：若?1,?2,…?n相互独立，则E(?1?2…?n)=E?1·E?2…E?n通过上式可以知道，当两个随机变量?与?相互独立时，?(?,?)=0，即两随机变量不相关。

14随机变量的峰度和偏度设?为定义在概率空间(Ω,F,P)上的某随机变量，则用?的标准化的三阶中心矩来定义?的偏度，即所有对称分布的偏度都为0，偏度不为0的分布曲线是右偏斜或左偏斜。

15用?的标准化的四阶中心矩来定义?的峰度，即正态分布的偏度为0，峰度为3，厚尾分布的峰度大于3，甚至有无限峰度。

16在实际应用中，也可以用样本数据去估计偏度和峰度，以找到样本数据的变化规律。假设有样本数据，则样本均值和方差分别为

17这样，样本的偏度和峰度分别为

18从前