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高中全程复习方略配套课件43平面向量的数量积(人教a版·数学理)浙江专用

contents

目录

平面向量数量积的概述

平面向量数量积的基本定理

平面向量数量积的运算律

平面向量数量积的应用

平面向量数量积的习题解析

01

平面向量数量积的概述

平面向量数量积定义为两个向量的模的乘积与它们夹角的余弦值的乘积，记作点乘。

定义

数量积满足交换律和分配律，即a·b=b·a和(a+b)·c=a·c+b·c。

性质

两个同向向量的数量积等于它们模的乘积，可以用来计算平行四边形的面积。

两个非零向量的夹角等于它们的数量积除以它们的模的乘积，可以用来计算两个向量之间的夹角。

角度

面积

坐标系

在平面直角坐标系中，任意向量可以表示为坐标形式，即a=(x1,y1)和b=(x2,y2)。

坐标运算

向量的数量积可以表示为坐标形式的乘积，即a·b=x1x2+y1y2。

02

平面向量数量积的基本定理

总结词

平面向量数量积的基本定理是两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积之和，再除以坐标的模长之积。

详细描述

平面向量数量积的基本定理表述为：向量$mathbf{a}$和$mathbf{b}$的数量积等于$a_1b_1+a_2b_2$，其中$a_1,a_2$和$b_1,b_2$分别是向量$mathbf{a}$和$mathbf{b}$的对应坐标，而$|mathbf{a}|$和$|mathbf{b}|$分别是向量$mathbf{a}$和$mathbf{b}$的模长。

总结词

平面向量数量积的基本定理可以通过向量的坐标表示法进行证明，利用向量的模长公式和点积的定义进行推导。

要点一

要点二

详细描述

首先，根据向量的模长公式，有$|mathbf{a}|=sqrt{a_1^2+a_2^2}$和$|mathbf{b}|=sqrt{b_1^2+b_2^2}$。然后，根据点积的定义，有$mathbf{a}cdotmathbf{b}=a_1b_1+a_2b_2$。最后，将两个向量的模长平方分别代入点积公式中，得到$frac{a_1b_1+a_2b_2}{|mathbf{a}||mathbf{b}|}=frac{mathbf{a}cdotmathbf{b}}{|mathbf{a}||mathbf{b}|}$，即证明了平面向量数量积的基本定理。

03

平面向量数量积的运算律

平面向量数量积的交换律是指向量的数量积满足交换律，即对于任意两个向量$vec{a}$和$vec{b}$，有$vec{a}cdotvec{b}=vec{b}cdotvec{a}$。

总结词

交换律是基本的数学运算律之一，在平面向量数量积中同样适用。这意味着向量的数量积不依赖于它们的顺序，即$vec{a}$和$vec{b}$的顺序不影响它们的数量积结果。

详细描述

总结词

平面向量数量积的结合律是指向量的数量积满足结合律，即对于任意三个向量$vec{a}$、$vec{b}$和$vec{c}$，有$(vec{a}cdotvec{b})cdotvec{c}=vec{a}cdot(vec{b}cdotvec{c})$。

详细描述

结合律是数学运算中的基本性质之一，在平面向量数量积中同样适用。结合律表明，向量的数量积满足结合性质，即向量的数量积的顺序不影响其结果。

平面向量数量积的分配律是指向量的数量积满足分配律，即对于任意两个向量$vec{a}$和任意实数$k$，有$k(vec{a}cdotvec{b})=(vec{a}cdotk)vec{b}=(kvec{a})cdotvec{b}$。

总结词

分配律是数学运算中的基本性质之一，在平面向量数量积中同样适用。分配律表明，向量的数量积满足分配性质，即实数与向量的数量积满足分配规则。

详细描述

04

平面向量数量积的应用

VS

向量夹角是描述两个向量之间角度的量，可以通过向量数量积来计算。

详细描述

向量夹角的计算公式为$costheta=frac{vec{a}cdotvec{b}}{left|vec{a}right|cdotleft|vec{b}right|}$，其中$theta$是向量夹角，$vec{a}$和$vec{b}$是两个向量，$cdot$表示数量积运算。通过向量夹角，可以进一步计算向量的投影。

总结词

向量投影是描述一个向量在另一个向量上的投影长度的量，可以通过向量夹角和模长来计算。

向量投影的计算公式为$text{Proj}_{vec{b}}vec{a}=left|vec{a}right|cdotcosthetacdotfrac{vec{b}}{left|vec{b}right|}$，其中$text{P