新教材新高考2024年高考数学高频考点精讲精练 第03讲 平面向量的数量积 (高频精讲）（解析版）.docxVIP

第03讲平面向量的数量积(精讲）

目录

TOC\o1-3\h\u第03讲平面向量的数量积(精讲） 1

第一部分：知识点必背 2

第二部分：高考真题回归 4

第二部分：高频考点一遍过 6

高频考点一：平面向量数量积的定义 6

角度1：平面向量数量积的定义及辨析 6

角度2：平面向量数量积的几何意义 8

高频考点二：平面向量数量积的运算 11

角度1：求数量积 11

角度2：向量模运算 15

角度3：向量的夹角 18

角度4：两向量成锐角（钝角）求参数 24

角度5：已知模求数量积 28

角度6：已知模求参数 30

高频考点三：向量的垂直关系 32

高频考点四：向量的投影（投影向量） 35

高频考点五：平面向量的综合应用 38

高频考点六：最值范围问题 44

高频考点七：极化恒等式 50

第四部分：数学文化题 53

第五部分：高考新题型 58

①开放性试题 58

②探究性试题 59

第六部分：数学思想方法 62

①函数与方程的思想 62

②数形结合的思想 64

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第一部分：知识点必背

1、平面向量数量积有关概念

1.1向量的夹角

已知两个非零向量和，如图所示，作，，则

()叫做向量与的夹角，记作．

(2)范围：夹角的范围是．

当时，两向量，共线且同向；

当时，两向量，相互垂直，记作；

当时，两向量，共线但反向．

1.2数量积的定义：

已知两个非零向量与，我们把数量叫做与的数量积(或内积)，记作，即，其中θ是与的夹角，记作：．

规定：零向量与任一向量的数量积为零．记作：.

1.3向量的投影

①定义：在平面内任取一点，作.过点作直线的垂线，垂足为，则就是向量在向量上的投影向量.

②投影向量计算公式:

当为锐角（如图（1））时，与方向相同，，所以；

当为直角（如图（2））时，，所以；

当为钝角（如图（3））时，与方向相反，所以，即.

当时，，所以；

当时，，所以

综上可知，对于任意的，都有.

2、平面向量数量积的性质及其坐标表示

已知向量，为向量和的夹角：

2.1数量积

2.2模：

2.3夹角：

2.4非零向量的充要条件：

2.5三角不等式：（当且仅当时等号成立）

3、平面向量数量积的运算

①

②

③

4、极化恒等式

①平行四边形形式：若在平行四边形中，则

②三角形形式：在中，为的中点，所以

5、常用结论

①

②

③

第二部分：高考真题回归

1．（2022·全国（新高考Ⅱ卷）·统考高考真题）已知向量，若，则（????）

A． B． C．5 D．6

【答案】C

【详解】解：,,即,解得,

故选：C

2．（2022·全国（乙卷文）·统考高考真题）已知向量，则（????）

A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】D

【详解】因为，所以.

故选：D

3．（2022·北京·统考高考真题）在中，．P为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（????）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】解：依题意如图建立平面直角坐标系，则，，，

因为，所以在以为圆心，为半径的圆上运动，

设，，

所以，，

所以

，其中，，

因为，所以，即；

故选：D

4．（2022·全国（甲卷文）·统考高考真题）已知向量．若，则______________．

【答案】##

【详解】由题意知：，解得.

故答案为：.

5．（2022·天津·统考高考真题）在中，，D是AC中点，，试用表示为___________，若，则的最大值为____________

【答案】????????

【详解】方法一：

，，

，当且仅当时取等号，而，所以．

故答案为：；．

方法二：如图所示，建立坐标系：

，，

，所以点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆，当且仅当与相切时，最大，此时．

故答案为：；．

第二部分：高频考点一遍过

高频考点一：平面向量数量积的定义

角度1：平面向量数量积的定义及辨析

典型例题

例题1．（2023·全国·高一专题练习）已知在方向上的投影为，则的值为

A．3 B． C．2 D．

【答案】B

【详解】设与的夹角为，

故选：B.

例题2．（2023·全国·高三专题练习）在矩形中，||＝6，||＝3.若点是的中点，点是的三等分点，且，则·＝（????）

A．6 B．4 C．3 D．2

【答案】C

【详解】由题意，作出图形，如图所示：

由图及题意，根据向量的运算法则，可得，

，

所以

.

故选C．

例题3．（2023春·贵州贵阳·高一校联考阶段练习）在中，为边上上的中点，，．

（1）___________．

（2）为内一点，最小值为___________

【答案