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数值分析绪论

目录数值分析概述数值计算的基本概念数值计算的基本方法数值计算的稳定性与收敛性数值计算中的常见问题及解决方法数值分析的发展趋势与挑战

数值分析概述01

数值分析是研究用计算机求解数学问题的数值计算方法及其理论的学科，是数学的一个分支，它以数字计算机求解数学问题的理论和方法为研究对象。数值分析有广泛的适用性，多数算法有可靠的理论依据和较高的计算精度。定义特点数值分析的定义与特点

数值分析的研究对象线性方程组的数值解法研究解线性方程组的直接法和迭代法，并分析其稳定性和收敛性。数值微分和数值积分研究如何用算法高效地近似计算函数的导数和定积分。函数的数值逼近用易于计算的函数近似代替复杂函数，同时保证误差在可接受范围内。非线性方程求根研究求解非线性方程的迭代法，如牛顿迭代法、二分法等。常微分方程的数值解法研究如何用数值方法求解常微分方程，如欧拉法、龙格-库塔法等。

其他领域如生物医学图像处理、地球科学数据模拟、环境科学中的数值模拟等。计算机图形学用于生成三维模型、渲染图像、模拟光线传播等。经济和金融用于风险评估、投资组合优化、期权定价等金融问题的计算。计算数学作为计算数学的基础工具，为各个领域提供数学计算的方法。工程和科学计算在航空航天、机械、电子等领域中，用于复杂系统的建模和仿真。数值分析的应用领域

数值计算的基本概念02

模型误差由于数学模型与实际问题之间的差异而产生的误差。截断误差由于计算方法本身的局限性而产生的误差。观测误差由于观测设备精度限制或人为因素导致的误差。舍入误差由于计算机表示数的精度限制而产生的误差。误差的来源与分类

01绝对误差精确值与近似值之间的差的绝对值。02相对误差绝对误差与精确值之比。03机器精度计算机所能表示的最小正数，通常用来衡量舍入误差的大小。误差的表示方法

有效数字与运算规则有效数字一个数从左边第一个非零数字起，到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字。运算规则在进行数值计算时，应遵循一定的运算规则，如先乘除后加减、括号内优先等，以保证计算结果的准确性。同时，要注意避免大数吃小数和计算过程中的误差传递与累积。

数值计算的基本方法03

拉格朗日插值牛顿插值通过构造差商表进行插值，具有承袭性和易增加节点的优点。分段插值将插值区间分成若干个子区间，在每个子区间上分别进行插值，以提高插值精度。利用拉格朗日基函数进行插值，适用于节点较少的情况。样条插值采用样条函数作为插值函数，使得插值曲线更加光滑。插值法小二乘法通过最小化误差的平方和来寻找数据的最佳函数匹配。多项式拟合用多项式函数来逼近给定数据，可采用正交多项式等方法。非线性拟合对于非线性关系的数据，通过选择合适的非线性模型进行拟合。最佳逼近在给定函数类中寻找与给定函数误差最小的逼近函数。拟合与逼近

矩形法将积分区间划分成若干个小矩形，用矩形的面积之和来近似积分。梯形法用梯形面积来近似积分，精度高于矩形法。辛普森法采用二次函数来逼近被积函数，具有更高的精度。数值微分通过差分等方法来近似计算函数的导数。数值积分与微分

高斯消元法通过消元将线性方程组化为上三角矩阵，然后回代求解。迭代法采用逐步逼近的方法求解线性方程组，如雅可比迭代法、高斯-赛德尔迭代法等。直接法直接利用矩阵的性质进行求解，如克拉默法则、LU分解等。稀疏矩阵解法针对稀疏矩阵的特点，采用特殊算法进行求解，以提高效率。线性方程组的解法

数值计算的稳定性与收敛性04

稳定性定义01算法在输入数据有微小变化时，输出结果也能保持相应的稳定性和可靠性。02稳定性分析方法通过误差传播理论、摄动理论等方法分析算法的稳定性。03稳定性与计算精度稳定的算法能够减小误差的积累和传播，提高计算精度。算法的稳定性

03收敛速度与收敛阶收敛速度描述算法逼近精确解的快慢程度，收敛阶反映算法逼近精确解的效率。01收敛性定义算法在迭代过程中，逐渐逼近精确解的性质。02收敛性判断方法通过迭代序列的极限性质、误差估计等方法判断算法的收敛性。算法的收敛性

加速方法采用松弛法、外推法、并行计算等加速技术，提高算法的收敛速度。收敛速度比较比较不同算法的收敛速度，选择更快的算法进行数值计算。收敛速度与计算精度在保证计算精度的前提下，尽可能提高算法的收敛速度。收敛速度与加速方法

数值计算中的常见问题及解决方法05

病态问题的定义在数值计算中，如果某个问题的解对输入数据的微小变化非常敏感，则称该问题为病态问题。条件数的概念条件数用于衡量问题病态程度的量，它反映了输入数据误差对解的影响程度。条件数越大，问题越病态。解决方法针对病态问题，可以通过改变问题的表述形式、使用更稳定的算法或增加数据精度等方法来降低条件数，从而改善问题的病态性。病态问题与条件数

迭代法的收敛性迭代法是一种通过不断逼近的方式求解问题的方法。收