新教材新高考2024年高考数学一轮复习高频考点精讲精练 第03讲 基本不等式 (分层精练）（解析版）.docxVIP

第03讲基本不等式(精练（分层练习）

A夯实基础B能力提升C综合素养

A夯实基础

一、单选题

1．（2023·山西忻州·统考模拟预测）已知，则的最小值是（????）

A．6 B．8 C．10 D．12

【答案】D

【详解】因为，所以

所以，

当且仅当，即时，等号成立．

所以的最小值为.

故选：D

2．（2023春·新疆省直辖县级单位·高一校考开学考试）若，，且，则的最大值为（????）

A．5 B．6 C．8 D．9

【答案】D

【详解】因为，，且，

所以，当且仅当时等号成立，

所以的最大值为9.

故选:D.

3．（2023秋·甘肃天水·高二天水市第一中学校考期末）函数的最小值是（????）

A．4 B．5 C．6 D．2

【答案】C

【详解】因为，所以，

则，

当且仅当，即时，取等号，

所以函数的最小值是.

故选：C.

4．（2023春·湖南邵阳·高一统考阶段练习）设，，若，则的最小值为（????）

A． B．4 C．9 D．

【答案】D

【详解】

，

当且仅当时等号成立.

故选：D

5．（2023秋·广东深圳·高一统考期末）若，且a≠b，则中的最大值是（????）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】因为，所以，

根据基本不等式可知，当且仅当时等号成立，

因为，所以；同理，

综上所述，上述四个式子中最大值为.

故选：A

6．（2023秋·云南·高二统考期末）已知，则取得最小值时，（????）

A． B． C．3 D．

【答案】C

【详解】∵，则，

∴，

当且仅当，即当时，等号成立.

故选：C.

7．（2023秋·河北承德·高一统考期末）已知正实数满足，则的最小值为（????）

A．6 B．5 C．12 D．10

【答案】B

【详解】因为，所以，而，

，当且仅当，即时，等号成立.

故选：B

8．（2023·甘肃武威·统考一模）随着新能源技术的发展，新能源汽车行业也迎来了巨大的商机.某新能源汽车加工厂生产某款新能源汽车每年需要固定投入100万元，此外每生产x辆该汽车另需增加投资g（x）万元，当该款汽车年产量低于400辆时，，当年产量不低于400辆时，，该款汽车售价为每辆15万元，且生产的汽车均能售完，则该工厂生产并销售这款新能源汽车的最高年利润为（????）

A．1500万元 B．2100万元 C．2200万元 D．3800万元

【答案】C

【详解】设该工厂生产并销售这款新能源汽车的年利润为（万元），由题意可知，

，

即，

当时，的对称轴，则；

当时，，当且仅当时，取得最大值2200.

综上，该工厂生产并销售这款新能源汽车的最高年利润为2200万元.

故选：C.

二、多选题

9．（2023秋·湖南邵阳·高一统考期末）下列说法中，正确的有（????）

A．若，则

B．若，则

C．若对恒成立，则实数m的最大值为2

D．已知，且，则的最小值为

【答案】ACD

【详解】对于A：，，左右两边同时乘以得，故A正确；

对于B：，故B错误；

对于C：，时等号成立，要使恒成立，

则，即，故实数m的最大值为2，故C正确；

对于D：，，时等号成立想，

故的最小值为，故D正确.

故选：ACD.

10．（2023秋·云南曲靖·高三曲靖一中校考阶段练习）十六世纪中叶，英国数学加雷科德在《砺智石》一书中先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“”和“”符号，并逐步被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远，若，则下面结论正确的是（????）

A．若，则

B．若，则有最小值

C．若，则

D．若，则有最大值1

【答案】ABD

【详解】对于A，，则，即，A正确；

对于B，，，则，

当且仅当，即时取等号，B正确；

对于C，，由得：，有，则，C不正确；

对于D，，，则，当且仅当时取等号，D正确.

故选：ABD

三、填空题

11．（2023秋·云南昆明·高一统考期末）已知，，若，则的最小值为______．

【答案】

【详解】由得，则，

所以，当且仅当，即，时，取得最小值为．

故答案为：

12．（2023秋·河北唐山·高一统考期末）已知正数满足，则的最小值为_______．

【答案】9

【详解】对于正数,有,当且仅当时取得等号，

故由得，即，

所以，故或（舍去）,

故，即的最小值为9，当且仅当时取最小值，

故答案为：9

四、解答题

13．（2023秋·山东临沂·高一校考期末）已知.

(1)求的最小值；

(2)求的最小值；

(3)求的最大值.

【答案】(1)

(2)

(3)

【详解】（1）（法一）.

当即时取等号，所以.

（法二）

当即时取等号，所以.

（2）因为，所以，

所以

，

当即时取等号，

所以.

（3）由得，

所以.

当即时取等号.

所以，.

14．（2023秋·河北承德·高一统考期末）已知函数.